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標題: 100全國高中聯招 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2011-6-25 12:20 標題: 100全國高中聯招

題目請見附件

附件: 100全國高中聯招.pdf (2011-6-25 12:34, 208.19 KB) / 該附件被下載次數 15779
https://math.pro/db/attachment.php?aid=585&k=f2ed96711462f613a549271e7273af18&t=1713985495

作者: bugmens 時間: 2011-6-25 12:21

6.
設x,y為實數，且滿足\( x^2+xy+y^2=6 \)，若\( x^2+y^2 \)的最大值為M，最小值為m，試求M+m=？
(A) 10　(B) 12　(C) 14　(D) 16

\( x,y \in R \)，若\( x^2+xy+y^2=1 \)，則\( x^2+y^2 \)之最大值？\( x^2+y^2 \)之最小值？
(高中數學101　P69)

7.
若\( n=1+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+...+50 \cdot 50! \)則n除以50的餘數為
(A) 13　(B) 23　(C) 29　(D) 49

試求\( 1! \times 1+2! \times 2+...+90! \times 90+91! \times 91 \)除以2002之餘數？
(200TRML個人賽)

2.
化簡\( \displaystyle cos \frac{6 \pi}{7}-cos \frac{5 \pi}{7}+cos \frac{4 \pi}{7} \)的值為？

\( \displaystyle cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2 \pi}{7}+cos \frac{3 \pi}{7} \)
(100松山工農，https://math.pro/db/thread-1137-1-1.html
IMO 1963，http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1963)

112.7.27補充
求\(\displaystyle sin\frac{2\pi}{7}+sin\frac{4\pi}{7}-sin\frac{\pi}{7}=\)　　　。
(112東石高中，https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)

3.
設\( f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \)，試求\( f(x^6) \)除以\( f(x) \)所得的餘式為？

設多項式\( f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \)，則\( f(x^{12}) \)除以\( f(x) \)所得到的餘式為何？
(94台南縣國中聯招，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1770)

2011.6.29補充
設\( f(x)=x^{2005}+x^{2004}+...+x+1 \)，試求\( f(x^{2006}) \)除以f(x)所得的餘式？
(94高中數學能力競賽　南區(高雄區)　筆試一試題，

104.5.2補充
設多項式\( f(x)=x^{2015}+x^{2014}+\ldots+x+1 \)，則試求\( f(x^{2016}) \)除以\( f(x) \)所得的餘式為。
(104桃園高中，https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)

4.
設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，且α,βγ為\( f(x)=0 \)之三根。試求\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) \)之值？
(96師大附中，
98中崙高中，https://math.pro/db/thread-807-1-1.html)

8.
若\( \displaystyle \frac{3}{4}\le x \le 2 \)且\( f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{4x-3} \)，則當x=？時\( f(x) \)有最大值為多少？

\( y=\sqrt{3-x}+\sqrt{5x-4} \)求最大值和最小值？
(埔里高工，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=25127
97南一中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47375)

求函數\( f(x)=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-3x} \)的值域？
(98南港高工，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=420)

另外找一題三個根號的讓各位算看看
求函數\( y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt{x} \)的最大和最小值？
(2009大陸高中數學競賽)

104.4.12補充
設\( \displaystyle \frac{7}{3}\le x \le \frac{9}{2} \)，\( f(x)=\sqrt{3x-7}+2\sqrt{9-2x} \)，則\( f(x) \)最大值為。
(104台中女中，https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html)

作者: maymay 時間: 2011-6-26 10:26 標題: 請教填充5,選擇8 謝謝

作者: dream10 時間: 2011-6-26 12:05

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=6395#p6395

作者: jen123 時間: 2011-6-26 15:17 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請問填充9,
我知道是考柯西等式成立時之條件,但是仍算不出來,請老師們指點

作者: arend 時間: 2011-6-26 15:48

請教版上先進

選擇
第8與9

綜合
第5與7

謝謝

作者: iamcfg 時間: 2011-6-26 16:53

選擇8 可以參考老王老師那邊的漂亮解法

選擇9
利用tan 的和角公式就可以了
或者利用座標化搭配和角公式硬求

附件: 100全國選擇9.rar (2011-6-26 16:53, 7.15 KB) / 該附件被下載次數 10939
https://math.pro/db/attachment.php?aid=590&k=59d9486b24b7fc5e18b8b34a20791ed4&t=1713985495

作者: iamcfg 時間: 2011-6-26 17:04

綜合7

先去算 \( \alpha 與 \beta \)的長度關係與夾角
然後利用 \(|\alpha - \beta |=2 \sqrt{3}可知道 \alpha 與 \beta 的距離\)
利用這兩點可以得到 \( | \alpha |\) 就可以算面積

作者: gamaisme 時間: 2011-6-26 22:08

想請教一下選擇第10題
總覺得算的出來，但卡住了~
麻煩幫忙解答，謝謝!

作者: iamcfg 時間: 2011-6-26 23:17

\(S=w+2w^2+3w^3+.....+9w^9\)
\(wS= w^2+2w^3+.....+8w^9+9w^{10}\)
相減
\((1-w)S=w+w^2+w^3+.....+w^9-9w^{10}\)
剩下取絕對質化簡就可以做出來了

作者: gamaisme 時間: 2011-6-27 15:36

抱歉~
到這邊小弟都做的出來~
但是怎麼樣取決對值化簡?
可否詳細解答一下，謝謝!

作者: dream10 時間: 2011-6-27 15:49

w^9=1=>1+w+w^2+....+w^8=0

上面等於w+w^2+...+w^9-9w^10=-9w^10 取絕對值

下面1-w取絕對值後=>2(1-cos40度)=2[2(sin^2)20度]

化簡一下就出來了

作者: martinofncku 時間: 2011-6-28 09:52 標題: 請問選擇題第 5 題

請問選擇題第 5 題，謝謝！

作者: Rokam 時間: 2011-6-28 11:02 標題: 回復 13# martinofncku 的帖子

考慮第五顆球是黑球或白球兩種情況
1.第五顆是黑球，前四顆是2黑2白，所以共有4! / (2!2!)=6種
2.第五顆是白球，前四顆是1黑3白，所以共有4!/3!=4種

[ (3*2*1*4*3) / (7*6*5*4*3) ] *6 + [ (4*3*2*1*3) / (7*6*5*4*3) ] *4 = 2/7

作者: icesnow1129 時間: 2011-6-29 17:44

請教選擇6 手邊新版的101似乎沒有這題
請教一下想法!!感謝

作者: gamaisme 時間: 2011-6-29 19:04

設 X = u+v ，Y = u-v 帶入就可看出極值
又或者用轉軸方程式將它轉成橢圓一般式也可以看出極值

作者: iamcfg 時間: 2011-6-29 22:47

引用:

原帖由 gamaisme 於 2011-6-29 07:04 PM 發表
設 X = u+v ，Y = u-v 帶入就可看出極值
又或者用轉軸方程式將它轉成橢圓一般式也可以看出極值

提供這題另外一種想法
假設\( x=r \cos{\theta}       y=r \sin{\theta}\)
\(x^2+y^2=r^2\)  求其極值  代入前面的式子整理
\( r^2+r^2 \cos{\theta} \sin{\theta} =6\)
\(\displaystyle{r^2=\frac{6}{1+\cos{\theta} \sin{\theta}}}\)
當\(\displaystyle{\cos{\theta} \sin{\theta}= - \frac{1}{2}}\)有Max12
當\(\displaystyle{\cos{\theta} \sin{\theta}=  \frac{1}{2}}\)有Max 4

[ 本帖最後由 iamcfg 於 2011-6-29 10:50 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2011-6-29 23:31

引用:

原帖由 iamcfg 於 2011-6-26 05:04 PM 發表
綜合7

先去算 \( \alpha 與 \beta \)的長度關係與夾角
然後利用 \(|\alpha - \beta |=2 \sqrt{3}可知道 \alpha 與 \beta 的距離\)
利用這兩點可以得到 \( | \alpha |\) 就可以算面積 ...

不好意思,提供個人淺見
這題解答內容上似乎有點問題
首先由b^2-2ab+4a^2=0,可得(b-a)^2=-3a^2
b-a=(+-)3^0.5*i*a
|b-a|=3^0.5*|a| -------------(1)
依題意知|b-a|=2*3^0.5
代入(1)得|a|=2--------------(2)
又
b=(1+3^0.5*i)a 或b=(1-3^0.5*i)a
|b|=2|a| =2*2=4
且
b=2[1/2 +(1/2)(3^0.5)i]a=2[cos(60度)+ i*sin(60度) ]a---------------------(3)
或b=2[1/2 -(1/2)(3^0.5)i]a=2[cos(-60度)+ i*sin(-60度) ]a------------------(4)
由 (3)知將OA以O為圓心,逆時針旋轉60度可得到B點
由 (4)知將OA以O為圓心,順時針旋轉60度可得到B點
它們都是角AOB=60度的三角形(並沒有夾角120度)
所求=(1/2)*2*4*sin60度 =2*3^0.5

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-6-29 11:33 PM 編輯 ]

作者: iamcfg 時間: 2011-6-29 23:58 標題: 回復 18# Ellipse 的帖子

多謝橢圓兄
小弟計算錯了囧

作者: mandy 時間: 2011-7-2 00:59

第二‵部份第4題: 我算的答案是-35, 公布的答案是35 ?

作者: dream10 時間: 2011-7-2 08:54

應該是你算錯了吧~~檢查一下計算有沒有錯誤

參考網址

https://math.pro/db/thread-807-1-1.html

[ 本帖最後由 dream10 於 2011-7-2 08:55 AM 編輯 ]

作者: money 時間: 2011-7-5 08:55

請問選擇7
我用了硬算的笨方法
花了不少時間
TRML那題除以2002我就無能為力了
煩請版上高手賜教
另再請教綜和題1
感謝

[ 本帖最後由 money 於 2011-7-5 12:08 PM 編輯 ]

作者: nanage 時間: 2011-7-5 15:50

選擇題7、綜合題1
請參考做法，不知道有沒有錯誤

附件: 09全國聯招.pdf (2011-7-5 15:50, 49.33 KB) / 該附件被下載次數 7492
https://math.pro/db/attachment.php?aid=627&k=65f32570c23a4ab5b1e9c58e90113a6b&t=1713985495

作者: money 時間: 2011-7-5 17:47

引用:

原帖由 nanage 於 2011-7-5 03:50 PM 發表
選擇題7、綜合題1
請參考做法，不知道有沒有錯誤

原來如此
茅塞頓開
大感謝 nanage大

作者: money 時間: 2011-7-6 09:53

引用:

原帖由 iamcfg 於 2011-6-26 05:04 PM 發表
綜合7

先去算 \( \alpha 與 \beta \)的長度關係與夾角
然後利用 \(|\alpha - \beta |=2 \sqrt{3}可知道 \alpha 與 \beta 的距離\)
利用這兩點可以得到 \( | \alpha |\) 就可以算面積 ...

不好意思
小弟駑頓
該如何算出長度關係與夾角呢

作者: YAG 時間: 2011-7-6 10:28 標題: 回復 25# money 的帖子

幹嘛那麼複雜就簡單的代數運算阿

12=|α- β|^2=|α^2-2αβ+ β^2|=|3α^2|==>|α|=2

β^2-2αβ+4α^2=0 (β+2α) (β^2-2αβ+4α^2)= β^3+8α^3=0

β^3+8α^3==>|β |=4

(此三角形為直角三角形)

作者: money 時間: 2011-7-6 11:11

引用:

原帖由 YAG 於 2011-7-6 10:28 AM 發表
幹嘛那麼複雜就簡單的代數運算阿

12=|α- β|^2=|α^2-2αβ+ β^2|=|3α^2|==>|α|=2

β^2-2αβ+4α^2=0 (β+2α) (β^2-2αβ+4α^2)= β^3+8α^3=0

β^3+8α^3==>|β |=4

(此三角形為直角三角形) ...

哇
此法甚妙
感謝啦

作者: YAG 時間: 2011-7-6 11:15 標題: 回復 27# money 的帖子

要記住平時多想想數個解法讓自己觀念更清楚
考試時拿出來的要簡單一點的解法想法單純運算簡單爭取時間

作者: money 時間: 2011-7-6 21:29

引用:

原帖由 YAG 於 2011-7-6 11:15 AM 發表
要記住平時多想想數個解法讓自己觀念更清楚
考試時拿出來的要簡單一點的解法想法單純運算簡單爭取時間

確實是如此
若是沒見過的題目常要思考許久
時間往往不夠用
教甄場上已不是考會不會而已
戰場已延伸到會且快
小弟受教了

作者: radical0929 時間: 2011-7-18 22:06 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

填充第9題的第二個算式要怎麼用呀？
我只知第一個算式的用法，謝謝

作者: diow 時間: 2011-7-18 23:54

三個數的算術平均大於等於幾何平均
等號成立時

作者: tsusy 時間: 2011-10-31 08:46 標題: 回復 26# YAG 的帖子

妙招…

在下也玩了類似的方法

配方 \( (\beta-\alpha)^{2}=-3\alpha^{2}\Rightarrow|\alpha|=2 \)

硬分解 \( (\beta-\alpha+\sqrt{3}i\alpha)(\beta-\alpha-\sqrt{3}i\alpha)=0\Rightarrow|\beta|=2|\alpha|=4 \)

剩下來就是直角三角形面積。

作者: man90244 時間: 2011-10-31 16:54

剛剛看過了選擇第10題解法
還是有一點看不懂
可否詳細解答一下，謝謝!

作者: tsusy 時間: 2011-11-1 09:07 標題: 回復 33# man90244 的帖子

利用

\( \omega^{9}=1 \) 和 \( 1-\omega=1-\cos40^{\circ}-i\sin40^{\circ}=2\sin20^{\circ}(\sin20^{\circ}-i\cos20^{\circ}) \)

及 \( \omega+\omega^{2}\ldots+\omega^{9}=\frac{\omega^{10}-\omega}{\omega-1}=0 \)

化簡 10# 樓中式子，取絕對值。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2011-11-1 09:08 AM 編輯 ]

作者: man90244 時間: 2011-11-1 16:35

想請教一下選擇第10題題目最後
|w+2w^2+3w^3+.....+9w^9|次方上還有-1次方
那是什麼意思阿????

作者: 老王 時間: 2011-11-23 17:13

綜合7
先備知識:
a,b,c三複數構成正三角形的充要條件為
\(\displaystyle a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca \)

(Alfors第一章習題)

所以題目條件
\(\displaystyle \beta^2-2\alpha\beta+4\alpha^2=0 \)
可以改成
\(\displaystyle (2\alpha)^2+\beta^2+0^2=(2\alpha)\beta+\beta\times0+0\times(2\alpha) \)
故\(\displaystyle (2\alpha),\beta,0 \) 構成正三角形

作者: tsusy 時間: 2012-2-4 19:04 標題: 回復 36# 老王的帖子

Ahlfors 的 Copmlex Analysis 嗎！？

這是令人罪惡的回憶…

真是厲害的方法，不過沒事的話，應該沒有會記得這個習題的性質吧

小弟再來補一個方法…

綜合 7

注意到題目所給的條件，和所求，都是旋轉不變的條件。

所以不妨旋轉一下，使得 \( \alpha-\beta \in R^+ \)

這樣絕對值，就可以直接拿掉，然後解出 \( \alpha,\, \beta \)

然後看要用什麼方法算面積都可以

作者: WAYNE10000 時間: 2012-3-11 10:16 標題: 請教綜合5

請教綜合5
我用餘式定理
到最後不知如何下手

感謝賜教謝謝!!

作者: tsungshin 時間: 2012-3-11 10:58 標題: 回復 38# WAYNE10000 的帖子

如附件所示
請參考

附件: 100全國聯招綜合題第5題.rar (2012-3-11 10:58, 26.96 KB) / 該附件被下載次數 6692
https://math.pro/db/attachment.php?aid=964&k=474db77a935e5e20b9f8ebcfae58f170&t=1713985495

作者: march2001kimo 時間: 2012-5-25 23:53 標題: 綜合第9題

請問綜合第9題要怎樣下手
硬算嗎??
有請高手解答
感恩

作者: Ellipse 時間: 2012-5-26 00:10

引用:

原帖由 march2001kimo 於 2012-5-25 11:53 PM 發表
請問綜合第9題要怎樣下手
硬算嗎??
有請高手解答
感恩

第一式:柯西不等式等號成立,x/6=y/b=3/2-----------------------(*1)
第二式:算幾不等式等號成立,2a/(3b^2)=b/2=3b/a=1-----------------(*2)
解(*1)&(*2)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-26 11:57 AM 編輯 ]

作者: march2001kimo 時間: 2012-5-26 13:11 標題: 回復 41# Ellipse 的帖子

感恩~~~

作者: nanpolend 時間: 2013-4-12 01:38 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教綜合第六題

作者: weiye 時間: 2013-4-12 08:32 標題: 回復 43# nanpolend 的帖子

綜合第 6 題

因為 \(A,C\) 對稱於 \(\overline{BD}\)，所以 \(\overline{PC}=\overline{PA}\)

　　\(\overline{PE}+\overline{PC}=\overline{PE}+\overline{PA}\geq \overline{AE}\)

當 \(P\) 是「\(\overline{AE}\) 與 \(\overline{BD}\) 交點」時，\(\overline{PE}+\overline{PC}\) 會有最小值為 \(\overline{AE}\)

此時，令 \(\overline{PB}=x\)，則 \(\displaystyle d(P,\overline{AB})=d(P,\overline{BE})=\frac{x}{\sqrt{2}}\)

　　利用 \(\triangle PAB\)面積＋\(\triangle PBE\)面積＝\(\triangle ABE\)面積

　　可得 \(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\)

　　\(\displaystyle\Rightarrow x=\frac{15\sqrt{2}}{8}\)

作者: 艾瑞卡 時間: 2013-4-12 10:34 標題: 請教選擇題第3題及第4題

第3題我沒有想法不知道從何下手?
第4題我算底邊長的高的比 1/4 : 1/12 = 3:1
設為3x 及 x
設第三邊長為y,所以|3x-y|< x
推不到高的長度,又寫不下去了
請賜教謝謝

圖片附件: 未命名.png (2013-4-12 10:34, 34.42 KB) / 該附件被下載次數 5098
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1575&k=066506db46f8b9a5cb11e960195d6c06&t=1713985495

作者: 俞克斌 時間: 2013-4-12 11:36 標題: 回復 45# 艾瑞卡的帖子

請參考
謝謝

圖片附件: 精彩考題解析舉隅2013.04.12-1.jpg (2013-4-12 11:36, 95.61 KB) / 該附件被下載次數 4995
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1576&k=c587f14a2a52e44c5afde4807be48b05&t=1713985495

作者: weiye 時間: 2013-4-12 11:43 標題: 回復 45# 艾瑞卡的帖子

選擇第 3 題：

由科西不等式，可得 \(\left(\overline{AP}^2+\overline{BP}^2\right)\left(3^2+4^2\right)\geq\left(3\overline{AP}+4\overline{BP}\right)^2\)

可得 \(3\overline{AP}+4\overline{BP}\leq\sqrt{\overline{AB}^2\cdot25}=10\)

另解：令 \(\angle PAB=\theta\)，則 \(3\overline{AP}+4\overline{BP}=3\left(2\cos\theta\right)+4\left(2\sin\theta\right)\)

　　　再疊合即可得最大值。

選擇第 4 題：

設三角形面積為 \(S\)，則此三角形的三邊長為 \(\displaystyle \frac{S}{4}, \frac{S}{12}, \frac{S}{h}\)

由三邊可以圍成三角形的條件：任兩邊之和大於第三邊，

可得 \(\displaystyle \frac{S}{4}+\frac{S}{12}>\frac{S}{h},\frac{S}{4}+\frac{S}{h}>\frac{S}{12}, \frac{S}{h}+\frac{S}{12}>\frac{S}{4}\)

即 \(\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{12}>\frac{1}{h},\frac{1}{4}+\frac{1}{h}>\frac{1}{12}, \frac{1}{h}+\frac{1}{12}>\frac{1}{4}\)

可得 \(3<h<6\)

作者: nanpolend 時間: 2013-4-13 05:29 標題: 回復 44# weiye 的帖子

假設P在BD線段上任一點
可得三角形PAE
由三角形基本性質知
PA+PE>AE
因此PA+PE有最小值時＝AE

圖片附件: 正方形最小值.png (2013-4-13 05:29, 26.07 KB) / 該附件被下載次數 4183
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1582&k=9493087ad957e71ac88dd09fc3eb96e3&t=1713985495

作者: mathca 時間: 2015-12-6 16:24 標題: 回復 26# YAG 的帖子

請問如何知道是直角三角形？

作者: bibibobo 時間: 2015-12-6 23:58 標題: 回復 49# mathca 的帖子

|α|=2表示OA長

|β|=4表示OB長

而題目給的|α −β |表示AB長

所以此三角形為30度 60度 90度三角形

作者: mathca 時間: 2015-12-11 12:30 標題: 回復 50# bibibobo 的帖子

感謝。

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