Board logo

標題: 99左營高中 [打印本頁]

作者: 八神庵    時間: 2010-7-20 17:05     標題: 99左營高中

我沒抄在準考證上
這是我回想的題目與PTTmath板好心人提供的題目
總共10題考90分鐘

附件: 左營高中.rar (2010-7-20 17:05, 16.91 KB) / 該附件被下載次數 9508
https://math.pro/db/attachment.php?aid=283&k=2a73dd6627c06d9da0a029087ec442bb&t=1711650222
作者: bugmens    時間: 2010-7-20 17:53

感謝提供題目

1.\( x,y \ge 0 \),\( x^2+y^2=25 \),求\( 5x^2+4xy+y^2 \)之最小值?

設\( x^2+y^2=1 \),試求\( x^2-2xy+3y^2 \)之最大值和最小值?
https://math.pro/db/thread-882-1-1.html


6.某一老鼠走迷宮的遊戲中,假設迷宮有A,B,C三個門,老鼠走進這三個門的機率都相等,且假設老鼠不去記憶走過。如果走進A門,則老鼠在3個小時後可以走出迷宮;如果走進B門,則老鼠經過2個小時後又走回原地;如果走進C門,則老鼠經過4個小時後又走回原地。那麼,這隻老鼠要走出迷宮所花時間的期望值為幾小時。
(97台灣師大推薦甄試,這裡還有類似的題目)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid1475


7.\( \displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \),求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}} \)
其他類似題目
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html


9.試證\( 2^n \ge 1+n \sqrt{2^{n-1}} \)

證明:\( \forall n \in N \),\( 3^n \ge 1+2n \sqrt{3^{n-1}} \)
(98慈大附中,臺南慈中,https://math.pro/db/thread-725-1-5.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-12 08:46 PM 編輯 ]
作者: addcinabo    時間: 2010-7-22 17:46

可以請教各位大大第8題嗎?
c(n,o)*c(n,1)*c(n,2)*...c(n,n) < 2^(n-1)*n / n!
感謝先
作者: Fermat    時間: 2010-7-22 19:32     標題: 回復 3# addcinabo 的帖子

先說明一下
第8.題題目有瑕疵(n=1,2不成立)
應限制n >= 3
                                                                                
先證lemma:n>=4時,(n-1)^(n-1)>n!
(歸納法易證)
n=4時,3^3>4!成立
設n=k(k>=4)成立, 即k!<(k-1)^(k-1)
=> (k+1)!=(k+1)*k!<(k+1)(k-1)^(k-1)
         =(k^2-1)(k-1)^(k-2)
         <k^2*k^(k-2)=k^k
得n=k+1時成立
                                                                                
(1)n=3時, 1*3*3*1<2^6/6成立
(2)n>=4時
左=C(n,1)C(n,2)...C(n,n-1)
  <{[C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n-1)]/(n-1)}^(n-1)
  =[(2^n-2)/(n-1)]^(n-1)
  <2^[n(n-1)]/(n-1)^(n-1)
  <2^[n(n-1)]/n! (by lemma)

[ 本帖最後由 Fermat 於 2010-7-24 09:08 PM 編輯 ]
作者: 老王    時間: 2010-7-24 21:34

第八題,可以用跟第九題一樣的技巧
\( \displaystyle C_1^n+2\times C_2^n+3\times C_3^n+\cdots+n\times C_n^n=n\times 2^{n-1} \)

接著使用算幾不等式即可
而且可以知道,當\( n=1 \) 時,僅有一項;當\( n=2 \)時,雖有兩項,但是相等;所以這兩個情況都是相等。
於是在\( n\ge 3 \) 時才會成立。
作者: bugmens    時間: 2010-7-25 07:55

這個解法實在是太漂亮了,推一個
作者: jomouth    時間: 2011-5-12 20:07

想請問一下第3題怎麼証明
\((3+\sqrt{7})^n\)的整數部分恆為奇數
作者: weiye    時間: 2011-5-12 20:20     標題: 回復 7# jomouth 的帖子

或許看完這篇 https://math.pro/db/thread-222-1-1.html 你應該就會有證明的想法了,

如果看完之後真的還是沒有想法的話,傳個短訊息給我,我再來寫個詳細證明。 ^__^
作者: jomouth    時間: 2011-5-12 20:44     標題: 回復 8# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師,我懂了
作者: nanpolend    時間: 2011-5-19 23:40     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

第一題詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-5 03:14 PM 編輯 ]

附件: 99左中01.rar (2011-5-19 23:40, 12.71 KB) / 該附件被下載次數 8989
https://math.pro/db/attachment.php?aid=350&k=d4357b5ce9e09f6501d01264c313b3e2&t=1711650222

附件: 99左中01.pdf (2011-5-20 10:41, 242.33 KB) / 該附件被下載次數 9794
https://math.pro/db/attachment.php?aid=352&k=ac44f6b8dfdd36f7035a2d5f812c190c&t=1711650222

圖片附件: 无命名.png (2011-7-5 15:14, 32.6 KB) / 該附件被下載次數 6399
https://math.pro/db/attachment.php?aid=626&k=7919ebb96532a23488101a5e0fe4e09d&t=1711650222


作者: nanpolend    時間: 2011-5-20 12:47     標題: 回復 10# nanpolend 的帖子

第二題詳解寫錯歡迎指正(更新版)

附件: 99左中02.rar (2011-7-5 00:06, 22.17 KB) / 該附件被下載次數 6756
https://math.pro/db/attachment.php?aid=624&k=bac96005a9c0935b02267b300aa1b3e0&t=1711650222

附件: 99左中02.pdf (2011-7-5 00:06, 247.55 KB) / 該附件被下載次數 7367
https://math.pro/db/attachment.php?aid=625&k=8f4ef29b052c2bc960a1682bff8b2cb5&t=1711650222

圖片附件: 无命名.png (2011-7-7 02:29, 53.79 KB) / 該附件被下載次數 4861
https://math.pro/db/attachment.php?aid=630&k=1bfcbdc0435ca24230df7a79e14120e8&t=1711650222


作者: nanpolend    時間: 2011-5-20 21:55     標題: 回復 8# weiye 的帖子

可不可以寫第三題的詳解感溫
作者: nanpolend    時間: 2011-5-20 23:45     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

第6題詳解
寫錯歡迎指正

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:39 AM 編輯 ]

附件: 99左中06.rar (2011-5-20 23:45, 9.89 KB) / 該附件被下載次數 6847
https://math.pro/db/attachment.php?aid=358&k=b1edf23cdb01aacdea349c88449fa6f0&t=1711650222

附件: 99左中06.pdf (2011-5-20 23:45, 207.03 KB) / 該附件被下載次數 6844
https://math.pro/db/attachment.php?aid=359&k=f479718e5850a4004cb8dcd4801572d9&t=1711650222

圖片附件: 无命名.png (2011-7-7 02:39, 48.25 KB) / 該附件被下載次數 4862
https://math.pro/db/attachment.php?aid=631&k=35f58f3c1f0ca339713cd7086093bebe&t=1711650222


作者: nanpolend    時間: 2011-5-21 09:06     標題: 回復 13# nanpolend 的帖子

第7題詳解
寫錯歡迎指正

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:41 AM 編輯 ]

附件: 99左中07.rar (2011-5-21 09:24, 11.79 KB) / 該附件被下載次數 7235
https://math.pro/db/attachment.php?aid=360&k=7385bfa7fd55f8a3fef2c1378da6024a&t=1711650222

附件: 99左中07.pdf (2011-5-21 09:24, 309.87 KB) / 該附件被下載次數 6864
https://math.pro/db/attachment.php?aid=361&k=97f481c94a47f54958446751b1f74acf&t=1711650222

圖片附件: 无命名.png (2011-7-7 02:41, 41.08 KB) / 該附件被下載次數 4794
https://math.pro/db/attachment.php?aid=632&k=1d781b71fa28778214edc4f9b74ea43e&t=1711650222


作者: nanpolend    時間: 2011-5-21 09:55     標題: 回復 14# nanpolend 的帖子

第9題詳解
寫錯歡迎指正

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:43 AM 編輯 ]

附件: 99左中09.rar (2011-5-21 09:55, 9.88 KB) / 該附件被下載次數 6822
https://math.pro/db/attachment.php?aid=362&k=07ff6d6539d43157c216b5a30bc1f014&t=1711650222

附件: 99左中09.pdf (2011-5-21 09:55, 191.6 KB) / 該附件被下載次數 5747
https://math.pro/db/attachment.php?aid=363&k=862a1fb0307b3ba52f2766cfb4599436&t=1711650222

圖片附件: 无命名.png (2011-7-7 02:43, 18.95 KB) / 該附件被下載次數 4730
https://math.pro/db/attachment.php?aid=633&k=fa2ad2a037f666867eb1a3876c21319b&t=1711650222


作者: weiye    時間: 2011-5-21 19:50

第 3 題

解答:

令 \(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n=C^n_0 3^n+ C^n_1 3^{n-1}\left(\sqrt{7}\right)+ C^n_2 3^{n-2}\left(\sqrt{7}\right)^2+\cdots+ C^n_n \left(\sqrt{7}\right)^n\)

     \(=A+B\sqrt{7}\) ,其中 \(A,B\) 為整數,

則 \(\displaystyle \left(3-\sqrt{7}\right)^n=C^n_0 3^n- C^n_1 3^{n-1}\left(\sqrt{7}\right)+ C^n_2 3^{n-2}\left(\sqrt{7}\right)^2+\cdots+ \left(-1\right)^n C^n_n \left(\sqrt{7}\right)^n\)

     \(=A-B\sqrt{7},\)


\(\displaystyle \Rightarrow \left(3+\sqrt{7}\right)^n+\left(3-\sqrt{7}\right)^n=2A\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(3+\sqrt{7}\right)^n=\left(2A-1\right)+\left[1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n\right]\)

又因為 \(\displaystyle 0<3-\sqrt{7}<1\Rightarrow 0<\left(3-\sqrt{7}\right)^n<1\Rightarrow 0<1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n<1\)

所以 \(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n\) 的整數部分為 \(2A-1\),小數部分為 \(\displaystyle 1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n.\)

故,\(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n\) 的整數部分為奇數。
作者: 八神庵    時間: 2011-5-23 20:04

引用:
原帖由 nanpolend 於 2011-5-20 12:47 PM 發表
第二題詳解寫錯歡迎指正
第二行就錯了
-pi<x<pi且x不等於0
故sinx屬於[-1,0)U(0,1]
作者: nanpolend    時間: 2011-7-5 00:08     標題: 回復 17# 八神庵 的帖子

第二題詳解寫錯
已更正
作者: casanova    時間: 2012-3-13 13:45     標題: 回復 1# 八神庵 的帖子

請問第4題和第5題怎麼寫呢?
還有,第9題只能用算數平均數大於幾何平均數嗎?可以用數學歸納法嗎?有試著用數學歸納法證第9題,但是沒證出來。
作者: weiye    時間: 2012-3-13 15:04     標題: 回復 19# casanova 的帖子

第 4 題:

因為 \(x\) 為實數,

必存整數 \(m\),使得 \(2m\leq x<2m+1\) 或 \(2m+1\leq x<2m+2\)

case i: 若 \(2m\leq x<2m+1\),則 \([x]=2m\)

    且 \(\displaystyle m\leq\frac{x}{2}<m+\frac{1}{2}\Rightarrow [\frac{x}{2}]=m\)

    且 \(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq\frac{x+1}{2}<m+1\Rightarrow [\frac{x+1}{2}]=m\)

    所以 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x]\)

case ii: 若 \(2m+1\leq x<2m+2\),則 \([x]=2m+1\)

    且 \(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq\frac{x}{2}<m+1\Rightarrow [\frac{x}{2}]=m\)

    且 \(\displaystyle m+1\leq\frac{x+1}{2}<m+1+\frac{1}{2}\Rightarrow [\frac{x+1}{2}]=m+1\)

    所以 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x]\)

由 case i & ii 可得 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x].\)
作者: weiye    時間: 2012-3-13 15:20     標題: 回復 19# casanova 的帖子

第 5 題:

設將 \(1,2,3,\cdots, 27\) 任意圍成一圈依序為 \(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{27}\) 可使相鄰兩整數和為質數,

因為 \(1\) 只出現一次,因此相鄰兩整數和必為奇質數,

設 \(a_1+a_2=p_1,a_2+a_3=p_2,a_3+a_4=p_3,\cdots,a_{27}+a_1=p_{27}\) ‧‧‧‧‧‧(*)

其中 \(p_1,p_2,p_3,\cdots,p_{27}\) 皆為奇質數,

將(*)列的 27 個式子相加,

可得 \(2\left(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{27}\right)=p_1+p_2+\cdots+p_{27}\)

上式左邊為偶數,上式右邊為奇數個奇質數的和為奇數,矛盾,

故,不可能將 \(1,2,3,\cdots,27\) 排成一圈圈使得相鄰兩整數和皆為質數。
作者: casanova    時間: 2012-3-13 20:27     標題: 回復 21# weiye 的帖子

謝謝weiye老師!
想再請問有沒有人可以利用數學歸納法做出第9題呢?
試著用數學歸納法但就是無法做出來。
作者: weiye    時間: 2012-3-13 21:01     標題: 回復 22# casanova 的帖子

第 9 題:

一、當 \(n=1,2,3\) 時,易知 \(2^1\geq 1+1\cdot\sqrt{2^0}, 2^2\geq1+2\cdot\sqrt{2^1}, 2^3\geq1+3\cdot\sqrt{2^2}\) 皆成立。

二、假設當 \(n=k\),其中 \(k\) 為不小於 \(3\) 的整數時,\(2^k\geq1+k\sqrt{2^{k-1}}\) 會成立。

  則當 \(n=k+1\) 時,

  \(2^{k+1}=2\cdot2^k\geq2\cdot(1+k\sqrt{2^{k-1}})\)

    \(=2+\sqrt{2}\cdot k\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2^{k-1}}\)

    \(>1+1.4\times k\sqrt{2^k}=1+(k+0.4k)\sqrt{2^k}\)

    \(>1+(k+1)\sqrt{2^k}\) 亦成立。

由一、二及數學歸納法原理,

可知對任意自然數 \(n\),\(2^n\geq1+n\sqrt{2^{n-1}}\) 皆成立。
作者: casanova    時間: 2012-3-13 21:48     標題: 回復 23# weiye 的帖子

用了\(\sqrt{2}\)的近似值是1.4,真的是蠻技巧的。
恍然大悟了,謝謝您!

[ 本帖最後由 casanova 於 2012-3-13 09:52 PM 編輯 ]
作者: Pacers31    時間: 2012-3-22 21:51     標題: 回復 11# nanpolend 的帖子

第二題還是怪怪的... 用x=pi/4 代入f(x)會大於5/2
顯然5/2不是極大值 -5/2也非極小值

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2012-3-22 09:53 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2012-3-22 22:21

引用:
原帖由 Pacers31 於 2012-3-22 09:51 PM 發表
第二題還是怪怪的... 用x=pi/4 代入f(x)會大於5/2
顯然5/2不是極大值 -5/2也非極小值
應該要分開來說
在0<x<Pi時,f(x)有極小值5/2
在-Pi<x<0時,f(x)有極大值-5/2
作者: Pacers31    時間: 2012-3-22 22:31     標題: 回復 26# Ellipse 的帖子

我了解了... 原來題目是問local maximum and local minimum 而非absolute
作者: mathca    時間: 2015-12-24 21:27     標題: 回復 1# 八神庵 的帖子

請教第10題,感謝。
作者: Ellipse    時間: 2015-12-24 22:08

引用:
原帖由 mathca 於 2015-12-24 09:27 PM 發表
請教第10題,感謝。
法1:
分子,分母同乘sin(θ/2)   ,再用和差化積化簡

法2:
利用複數性質
令z=cosθ+i*sinθ,求Sigma {k=1 to n} z^k 的實部
作者: mathca    時間: 2015-12-25 08:33     標題: 回復 29# Ellipse 的帖子

再請教後面,算到  1/2 (sin theta/4 - sin (2n-1)theta/4 ) / sin theta/2 ,  1/4 出現不知要如何往下。

感謝
作者: tsusy    時間: 2015-12-25 18:39     標題: 回復 30# mathca 的帖子

應該是算錯了

\( \cos A \sin B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) - \sin(A-B) \)

\( A= \theta, 2\theta, \ldots, n \theta \) 代入,不會跑出 \( \frac14 \)

最後再做一次積化和差,把剩下的兩個 \( \sin \) 的差,再寫成 \( \cos \) 乘 \( \sin \) 的形式
作者: mathca    時間: 2015-12-26 07:37     標題: 回復 31# tsusy 的帖子

感謝,算到頭暈了,莫名其妙除以二。已清楚。
作者: mathca    時間: 2016-1-1 18:11     標題: 回復 5# 老王 的帖子

已推得
2^(n-1)  =  C(n,1) + 2*C(n,2) + ....+  n*C(n,n)   / n  >=  [ n!*C(n,1) *C(n,2)* ....*C(n,n)  ]^(1/n)  
請問能從算幾不等式中,推得"="何時成立嗎? (  C(n,1)=2*C(n,2)=...=n*C(n,n)....  推得 n= ?  )
還是只能代n=1,n=2,n=3,....?
也就是如何確定 n>=3之後,等號不會成立。
感謝。

[ 本帖最後由 mathca 於 2016-1-1 06:15 PM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2016-1-1 21:05     標題: 回復 33# mathca 的帖子

\(n=C_{1}^{n}\ne 2C_{2}^{n}=n\left( n-1 \right)\)
作者: idontnow90    時間: 2016-4-17 22:03

想請教第八題..我用數歸..在最後一步卡住了.
想請教我這個方法過得去嗎?該如何補強??謝謝~

圖片附件: 13046295_10209658912614068_1937183008_n.jpg (2016-4-17 22:03, 60.82 KB) / 該附件被下載次數 4982
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3245&k=d155bd0eb2fa63b20c209cc87de2c775&t=1711650222


作者: Sandy    時間: 2017-12-8 16:20     標題: 99左營 第10題 數學歸納法證明

最近上課看到的

剛好是第10題的數學歸納法

圖片附件: [99左營 第10題 數學歸納法證明] Screenshot_20171208-161506_1.jpg (2017-12-8 16:20, 167.89 KB) / 該附件被下載次數 4330
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4291&k=4c119a45d74fa9aba2dd24b188be4631&t=1711650222


作者: tsusy    時間: 2017-12-8 20:57     標題: 回復 35# idontnow90 的帖子

當 \( n\geq 2 \) 時

\( \displaystyle \frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)!}=\frac{n+2}{n+1}\cdot\frac{(n+2)^{n+1}}{n!}=\frac{n+2}{n+1}\cdot\frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{(n+1)^{n+1}}{n!}<3\cdot4^{n}\cdot\frac{n+2}{n+1}\leq4^{n+1} \)

其中用了 \( (1+\frac 1k)^k <3 \) 對任意正整數 \( k \) 皆成立

其它的補滿,再寫成數學歸納法

[ 本帖最後由 tsusy 於 2017-12-8 20:58 編輯 ]




歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0