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標題: 99左營高中 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2010-7-20 17:05 標題: 99左營高中

我沒抄在準考證上
這是我回想的題目與PTTmath板好心人提供的題目
總共10題考90分鐘

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=283&k=21b3e7c76c252b954c4f23254dcc2a36&t=1732264531

作者: bugmens 時間: 2010-7-20 17:53

感謝提供題目

1.\( x,y \ge 0 \)，\( x^2+y^2=25 \)，求\( 5x^2+4xy+y^2 \)之最小值？

設\( x^2+y^2=1 \)，試求\( x^2-2xy+3y^2 \)之最大值和最小值？
https://math.pro/db/thread-882-1-1.html

6.某一老鼠走迷宮的遊戲中，假設迷宮有A,B,C三個門，老鼠走進這三個門的機率都相等，且假設老鼠不去記憶走過。如果走進A門，則老鼠在3個小時後可以走出迷宮；如果走進B門，則老鼠經過2個小時後又走回原地；如果走進C門，則老鼠經過4個小時後又走回原地。那麼，這隻老鼠要走出迷宮所花時間的期望值為幾小時。
(97台灣師大推薦甄試，這裡還有類似的題目)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid1475

7.\( \displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}} \)
其他類似題目
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

9.試證\( 2^n \ge 1+n \sqrt{2^{n-1}} \)

證明：\( \forall n \in N \)，\( 3^n \ge 1+2n \sqrt{3^{n-1}} \)
(98慈大附中,臺南慈中，https://math.pro/db/thread-725-1-5.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-12 08:46 PM 編輯 ]

作者: addcinabo 時間: 2010-7-22 17:46

可以請教各位大大第8題嗎?
c(n,o)*c(n,1)*c(n,2)*...c(n,n) < 2^(n-1)*n / n!
感謝先

作者: Fermat 時間: 2010-7-22 19:32 標題: 回復 3# addcinabo 的帖子

先說明一下
第8.題題目有瑕疵(n=1,2不成立)
應限制n >= 3

先證lemma：n>=4時,(n-1)^(n-1)>n!
(歸納法易證)
n=4時,3^3>4!成立
設n=k(k>=4)成立, 即k!<(k-1)^(k-1)
=> (k+1)!=(k+1)*k!<(k+1)(k-1)^(k-1)
      =(k^2-1)(k-1)^(k-2)
      <k^2*k^(k-2)=k^k
得n=k+1時成立

(1)n=3時, 1*3*3*1<2^6/6成立
(2)n>=4時
左=C(n,1)C(n,2)...C(n,n-1)
  <{[C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n-1)]/(n-1)}^(n-1)
  =[(2^n-2)/(n-1)]^(n-1)
  <2^[n(n-1)]/(n-1)^(n-1)
  <2^[n(n-1)]/n! (by lemma)

[ 本帖最後由 Fermat 於 2010-7-24 09:08 PM 編輯 ]

作者: 老王 時間: 2010-7-24 21:34

第八題，可以用跟第九題一樣的技巧
\( \displaystyle C_1^n+2\times C_2^n+3\times C_3^n+\cdots+n\times C_n^n=n\times 2^{n-1} \)

接著使用算幾不等式即可
而且可以知道，當\( n=1 \) 時，僅有一項；當\( n=2 \)時，雖有兩項，但是相等；所以這兩個情況都是相等。
於是在\( n\ge 3 \) 時才會成立。

作者: bugmens 時間: 2010-7-25 07:55

這個解法實在是太漂亮了，推一個

作者: jomouth 時間: 2011-5-12 20:07

想請問一下第3題怎麼証明
\((3+\sqrt{7})^n\)的整數部分恆為奇數

作者: weiye 時間: 2011-5-12 20:20 標題: 回復 7# jomouth 的帖子

或許看完這篇 https://math.pro/db/thread-222-1-1.html 你應該就會有證明的想法了，

如果看完之後真的還是沒有想法的話，傳個短訊息給我，我再來寫個詳細證明。 ^__^

作者: jomouth 時間: 2011-5-12 20:44 標題: 回復 8# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師，我懂了

作者: nanpolend 時間: 2011-5-19 23:40 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

第一題詳解

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-5 03:14 PM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=626&k=29afc81305ceb11d46de8292b1e8d38e&t=1732264531

作者: nanpolend 時間: 2011-5-20 12:47 標題: 回復 10# nanpolend 的帖子

第二題詳解寫錯歡迎指正(更新版)

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作者: nanpolend 時間: 2011-5-20 21:55 標題: 回復 8# weiye 的帖子

可不可以寫第三題的詳解感溫

作者: nanpolend 時間: 2011-5-20 23:45 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

第6題詳解
寫錯歡迎指正

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:39 AM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2011-5-21 09:06 標題: 回復 13# nanpolend 的帖子

第7題詳解
寫錯歡迎指正

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:41 AM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2011-5-21 09:55 標題: 回復 14# nanpolend 的帖子

第9題詳解
寫錯歡迎指正

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-7 02:43 AM 編輯 ]

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作者: weiye 時間: 2011-5-21 19:50

第 3 題

解答：

令 \(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n=C^n_0 3^n+ C^n_1 3^{n-1}\left(\sqrt{7}\right)+ C^n_2 3^{n-2}\left(\sqrt{7}\right)^2+\cdots+ C^n_n \left(\sqrt{7}\right)^n\)

　　　　　\(=A+B\sqrt{7}\) ，其中 \(A,B\) 為整數，

則 \(\displaystyle \left(3-\sqrt{7}\right)^n=C^n_0 3^n- C^n_1 3^{n-1}\left(\sqrt{7}\right)+ C^n_2 3^{n-2}\left(\sqrt{7}\right)^2+\cdots+ \left(-1\right)^n C^n_n \left(\sqrt{7}\right)^n\)

　　　　　\(=A-B\sqrt{7},\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(3+\sqrt{7}\right)^n+\left(3-\sqrt{7}\right)^n=2A\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(3+\sqrt{7}\right)^n=\left(2A-1\right)+\left[1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n\right]\)

又因為 \(\displaystyle 0<3-\sqrt{7}<1\Rightarrow 0<\left(3-\sqrt{7}\right)^n<1\Rightarrow 0<1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n<1\)

所以 \(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n\) 的整數部分為 \(2A-1\)，小數部分為 \(\displaystyle 1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n.\)

故，\(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n\) 的整數部分為奇數。

作者: 八神庵 時間: 2011-5-23 20:04

引用:

原帖由 nanpolend 於 2011-5-20 12:47 PM 發表
第二題詳解寫錯歡迎指正

第二行就錯了
-pi<x<pi且x不等於0
故sinx屬於[-1,0)U(0,1]

作者: nanpolend 時間: 2011-7-5 00:08 標題: 回復 17# 八神庵的帖子

第二題詳解寫錯
已更正

作者: casanova 時間: 2012-3-13 13:45 標題: 回復 1# 八神庵的帖子

請問第4題和第5題怎麼寫呢？
還有，第9題只能用算數平均數大於幾何平均數嗎？可以用數學歸納法嗎？有試著用數學歸納法證第9題，但是沒證出來。

作者: weiye 時間: 2012-3-13 15:04 標題: 回復 19# casanova 的帖子

第 4 題：

因為 \(x\) 為實數，

必存整數 \(m\)，使得 \(2m\leq x<2m+1\) 或 \(2m+1\leq x<2m+2\)

case i: 若 \(2m\leq x<2m+1\)，則 \([x]=2m\)

　　　　且 \(\displaystyle m\leq\frac{x}{2}<m+\frac{1}{2}\Rightarrow [\frac{x}{2}]=m\)

　　　　且 \(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq\frac{x+1}{2}<m+1\Rightarrow [\frac{x+1}{2}]=m\)

　　　　所以 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x]\)

case ii: 若 \(2m+1\leq x<2m+2\)，則 \([x]=2m+1\)

　　　　且 \(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq\frac{x}{2}<m+1\Rightarrow [\frac{x}{2}]=m\)

　　　　且 \(\displaystyle m+1\leq\frac{x+1}{2}<m+1+\frac{1}{2}\Rightarrow [\frac{x+1}{2}]=m+1\)

　　　　所以 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x]\)

由 case i & ii 可得 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x].\)

作者: weiye 時間: 2012-3-13 15:20 標題: 回復 19# casanova 的帖子

第 5 題：

設將 \(1,2,3,\cdots, 27\) 任意圍成一圈依序為 \(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{27}\) 可使相鄰兩整數和為質數，

因為 \(1\) 只出現一次，因此相鄰兩整數和必為奇質數，

設 \(a_1+a_2=p_1,a_2+a_3=p_2,a_3+a_4=p_3,\cdots,a_{27}+a_1=p_{27}\)　‧‧‧‧‧‧（＊）

其中 \(p_1,p_2,p_3,\cdots,p_{27}\) 皆為奇質數，

將（＊）列的 27 個式子相加，

可得 \(2\left(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{27}\right)=p_1+p_2+\cdots+p_{27}\)

上式左邊為偶數，上式右邊為奇數個奇質數的和為奇數，矛盾，

故，不可能將 \(1,2,3,\cdots,27\) 排成一圈圈使得相鄰兩整數和皆為質數。

作者: casanova 時間: 2012-3-13 20:27 標題: 回復 21# weiye 的帖子

謝謝weiye老師！
想再請問有沒有人可以利用數學歸納法做出第9題呢？
試著用數學歸納法但就是無法做出來。

作者: weiye 時間: 2012-3-13 21:01 標題: 回復 22# casanova 的帖子

第 9 題：

一、當 \(n=1,2,3\) 時，易知 \(2^1\geq 1+1\cdot\sqrt{2^0}, 2^2\geq1+2\cdot\sqrt{2^1}, 2^3\geq1+3\cdot\sqrt{2^2}\) 皆成立。

二、假設當 \(n=k\)，其中 \(k\) 為不小於 \(3\) 的整數時，\(2^k\geq1+k\sqrt{2^{k-1}}\) 會成立。

　　則當 \(n=k+1\) 時，

　　\(2^{k+1}=2\cdot2^k\geq2\cdot(1+k\sqrt{2^{k-1}})\)

　　　　\(=2+\sqrt{2}\cdot k\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2^{k-1}}\)

　　　　\(>1+1.4\times k\sqrt{2^k}=1+(k+0.4k)\sqrt{2^k}\)

　　　　\(>1+(k+1)\sqrt{2^k}\)　亦成立。

由一、二及數學歸納法原理，

可知對任意自然數 \(n\)，\(2^n\geq1+n\sqrt{2^{n-1}}\) 皆成立。

作者: casanova 時間: 2012-3-13 21:48 標題: 回復 23# weiye 的帖子

用了\(\sqrt{2}\)的近似值是1.4，真的是蠻技巧的。
恍然大悟了，謝謝您！

[ 本帖最後由 casanova 於 2012-3-13 09:52 PM 編輯 ]

作者: Pacers31 時間: 2012-3-22 21:51 標題: 回復 11# nanpolend 的帖子

第二題還是怪怪的... 用x=pi/4 代入f(x)會大於5/2
顯然5/2不是極大值 -5/2也非極小值

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2012-3-22 09:53 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2012-3-22 22:21

引用:

原帖由 Pacers31 於 2012-3-22 09:51 PM 發表
第二題還是怪怪的... 用x=pi/4 代入f(x)會大於5/2
顯然5/2不是極大值 -5/2也非極小值

應該要分開來說
在0<x<Pi時,f(x)有極小值5/2
在-Pi<x<0時,f(x)有極大值-5/2

作者: Pacers31 時間: 2012-3-22 22:31 標題: 回復 26# Ellipse 的帖子

我了解了... 原來題目是問local maximum and local minimum 而非absolute

作者: mathca 時間: 2015-12-24 21:27 標題: 回復 1# 八神庵的帖子

請教第10題，感謝。

作者: Ellipse 時間: 2015-12-24 22:08

引用:

原帖由 mathca 於 2015-12-24 09:27 PM 發表
請教第10題，感謝。

法1:
分子,分母同乘sin(θ/2) ,再用和差化積化簡

法2:
利用複數性質
令z=cosθ+i*sinθ,求Sigma {k=1 to n} z^k 的實部

作者: mathca 時間: 2015-12-25 08:33 標題: 回復 29# Ellipse 的帖子

再請教後面，算到 1/2 (sin theta/4 - sin (2n-1)theta/4 ) / sin theta/2 ， 1/4 出現不知要如何往下。

感謝

作者: tsusy 時間: 2015-12-25 18:39 標題: 回復 30# mathca 的帖子

應該是算錯了

\( \cos A \sin B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) - \sin(A-B) \)

\( A= \theta, 2\theta, \ldots, n \theta \) 代入，不會跑出 \( \frac14 \)

最後再做一次積化和差，把剩下的兩個 \( \sin \) 的差，再寫成 \( \cos \) 乘 \( \sin \) 的形式

作者: mathca 時間: 2015-12-26 07:37 標題: 回復 31# tsusy 的帖子

感謝，算到頭暈了，莫名其妙除以二。已清楚。

作者: mathca 時間: 2016-1-1 18:11 標題: 回復 5# 老王的帖子

已推得
2^(n-1) = C(n,1) + 2*C(n,2) + ....+ n*C(n,n) / n >= [ n!*C(n,1) *C(n,2)* ....*C(n,n) ]^(1/n)
請問能從算幾不等式中，推得"="何時成立嗎？ ( C(n,1)=2*C(n,2)=...=n*C(n,n).... 推得 n= ? )
還是只能代n=1,n=2,n=3,....？
也就是如何確定 n>=3之後，等號不會成立。
感謝。

[ 本帖最後由 mathca 於 2016-1-1 06:15 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2016-1-1 21:05 標題: 回復 33# mathca 的帖子

\(n=C_{1}^{n}\ne 2C_{2}^{n}=n\left( n-1 \right)\)

作者: idontnow90 時間: 2016-4-17 22:03

想請教第八題..我用數歸..在最後一步卡住了.
想請教我這個方法過得去嗎?該如何補強??謝謝~

圖片附件: 13046295_10209658912614068_1937183008_n.jpg (2016-4-17 22:03, 60.82 KB) / 該附件被下載次數 5402
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3245&k=55e536e6d147fb2178353d6941744f4c&t=1732264531

作者: Sandy 時間: 2017-12-8 16:20 標題: 99左營第10題數學歸納法證明

最近上課看到的

剛好是第10題的數學歸納法

圖片附件: [99左營第10題數學歸納法證明] Screenshot_20171208-161506_1.jpg (2017-12-8 16:20, 167.89 KB) / 該附件被下載次數 4738
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4291&k=c00f512b44bbb28a365c18c0d81efd01&t=1732264531

作者: tsusy 時間: 2017-12-8 20:57 標題: 回復 35# idontnow90 的帖子

當 \( n\geq 2 \) 時

\( \displaystyle \frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)!}=\frac{n+2}{n+1}\cdot\frac{(n+2)^{n+1}}{n!}=\frac{n+2}{n+1}\cdot\frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{(n+1)^{n+1}}{n!}<3\cdot4^{n}\cdot\frac{n+2}{n+1}\leq4^{n+1} \)

其中用了 \( (1+\frac 1k)^k <3 \) 對任意正整數 \( k \) 皆成立

其它的補滿，再寫成數學歸納法

[ 本帖最後由 tsusy 於 2017-12-8 20:58 編輯 ]

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