回復 17# kittyyaya 的帖子
一兩個月前，被問到非選的第一題，某人和我說，這題是他的殘念，之前一直都沒做出來
就認真的算了一下…
方法1：首先平移使中心為原點，新資料關係”幾乎”是 \( y_{i}^{\pm}=x_{i}^{\pm}\pm d, x_{i}^{\pm}=x_{i}, \bar{x}=\bar{y}=0\).
\( r=\frac{\sum y_{i}^{\pm}x_{i}}{\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}}\sqrt{\sum(x_{i}\pm d)^{2}}}=\frac{2\sum_{i}x_{i}^{2}}{\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}}\sqrt{2\sum_{i}x_{i}^{2}+Nd^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{Nd^{2}}{2\sum_{i}x_{i}^{2}}}} \)
也就是 \( \frac{\sum_{i}x_{i}^{2}}{N} \) 愈大 \( r \) 愈大。
也就是 \( x \) 變異係數愈大，\( r \) 愈大。所以 \( C>A>B \) 是沒有問題的。
而 \( D \) 和 \( A \) 則大概是 \( \frac{\sum_{k=1}^{2n}k^{2}}{2n} \) 和 \( \frac{\sum_{k=1}^{n}(2k)^{2}}{n} \) 在比，所以是半斤八兩。
所以 \( C>A\approx D>B \)。
方法2：假設中間那條是迴歸線，去算迴歸線和資料的最小方差可以得到 \( 1-r^{2} \) 正比最小方差。
當然裡面還有一些參數。但是這樣做的好處是，因為資料接近線性關係，所以 \( r^{2} \) 接近 \( 1 \)，而 \( 1-r^{2} \) 接近 \( 0 \)。
所以 \( r \) 只要有些微變動，新舊 \( r \) 的比值接近 \( 1 \)，但 \( 1-r^{2} \) 的就不是了…
有興趣的人，可以用方法 2，驗證一下是不是一樣的結果…
方法2，是之前想的，很不直覺，有點久了，不知道算出來一不一樣？
[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-20 08:33 PM 編輯 ]
