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99桃園縣新進教師高中聯招

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謝謝 iamcfg  的解說。

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回復 5# iamcfg 的帖子

不好意思 您單選4的解法應該錯誤了!
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應該是 ──── + ────x──── + ────x────x──── + ‧‧‧ = ───
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Wan-Chen, Li

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請問一下
第貳部份非選擇題A部分第一題
各位老師看法如何?

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想請問多選題13的(A)和(D)給5點不就給5個方程式,可以解5個未知數,為何不是唯一解
                     (B)為何是唯一解
                     (E)只給2個條件,為何是唯一解,不是還有開口大小嗎?
還有非選擇題A部分第一題答案是否為C>D>B>A和第二題不會,謝謝

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第 13 題:

(A) 令 \(H(x)=f(x)-x\) ,則

  因為 \(f(x)\) 為四次式,所以 \(H(x)\) 亦為四次式

  因為 \(H(0)=H(1)=H(-1)=H(2)=H(-2)=0\)

  由因式定理,可得 \(H(x)\) 有因式 \(x, (x-1), (x+1), (x-2), (x+2)\)

  顯然與 \(H(x)\) 為四次式相矛盾。

(B) 令 \(f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e\),

  由 \(f(1)=0, f(-1)=2,f'(1)=1,f'(-1)=-1\),

  可解得 \(\displaystyle b=\frac{1}{2}, c=\frac{-3}{2},d=\frac{-3}{2}, e=\frac{3}{2}\)

  (如果不想解最後的聯立方程式,就檢查克拉馬公式的的 Δ 是否非零。)

(C) \(f(x)=x^4+x^2+1\)

(D) 四個未知數,卻有五個方程式,有可能會過猶不及,

  前四個方程式解出來的,帶入第五個方程式卻矛盾,

  是又不想真的去解那五個方程式,

  所以以下就借用一下 iamcfg 在 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2477 的方法,

  

  最後一個數不是 \(4!\),很好~此四次方程式的首項係數不會是 \(1\)。

(E) 令 \(f(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e\),

  由 \(\displaystyle f(\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f(-\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f'(\frac{1}{\sqrt{2}})=0, f'(-\frac{1}{\sqrt{2}})=0\),

  可解得 \(\displaystyle b=0, c=-1,d=0, e=\frac{1}{4}.\)

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提供(D)選項的解法
令\( g(x)=(x+1)f(x)-1 \),且\( g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=g(5)=0 \)
令\( g(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=(x+1)f(x)-1 \)
得\( \displaystyle f(x)=\frac{k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1}{x+1} \)
但\( f(x) \)為四次多項式,所以\( x+1 \)要能整除\( k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1 \)
\( k(-1-1)(-1-2)(-1-3)(-1-4)(-1-5)+1=0 \),\( \displaystyle k=\frac{1}{720} \)
最高係數應為\( \displaystyle \frac{1}{720} \)

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感謝瑋岳老師和 bugmens老師,看見板上兩位老師和其他老師的功力如此強,教書十多年的我真的需要好好練練題目和思考數學,另外,iamcfg老師寫在99大安高工的內容,我上去查過,也試算過,還是看不出來,可否幫忙在解釋一下f(x+h)-f(x)的意義,另外,非選擇題的第一部分相關系數大小是否為C>D>B>A
第二題我已有查到網路上的解釋,謝謝

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回復 17# kittyyaya 的帖子

若 \(\displaystyle f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\),則

\(\displaystyle f(x+1)-f(x)=\left(a_n\left(x+1\right)^n+a_{n-1}\left(x+1\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(x+1\right)+a_0\right) - \left(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\right)\)

   \(\displaystyle =a_n\left(\left(x+1\right)^n-x^n\right)+a_{n-1}\left(\left(x+1\right)^{n-1}-x^{n-1}\right)+\cdots+a_1\left(\left(x+1\right)-x\right)\)

(請自行把 \((x+1)^n, (x+1)^{n-1} \cdots\) 用二項式定理展開)

   \(\displaystyle =a_n\left(nx^{n-1}+\cdots\right)+a_{n-1}\left(\left(n-1\right)x^{n-2}\cdots\right)+\cdots\)

   \(\displaystyle =n\cdot a_nx^{n-1}+\cdots\)

可以發現 \(f(x+1)-f(x)\) 次方數會減一,且首項係數會多乘上 \(n\)(蝦咪~跟微分很像~嗯~)

所以,若 \(f(x)\) 是四次式,做了 \(4\) 階的差分之後,

會變成常數,且該常數是 \(f(x)\) 的首項係數乘上 \(4!\)。



相關係數那題可能要等待統計達人囉~:P

我是"覺得"

A > B≒D( B 與 D 似是經 \(x,y\) 軸伸縮變換可互換)



C > B≒D

至於 A 與 C,

不知誰大...

難道要真找一堆數據來算看看?

等待統計達人囉~:P

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請問非選第二題 : 求實數a的範圍怎麼做?

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請問一下
第貳部份非選擇題A部分第一題
有沒有那位板大比較確定答案?

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