第 9 題：

ABC 中，AB=1BC=3AC=1 ，設 P 為 ABC 內部的一點，

且 P 到三邊 BCACAB 之距離 PDPEPF 的比為 1:2:3，

若 AP2:BP2:CP2=1:a:b，求數對 (ab)=？



以 P 為圓心，以 k2k3k 為半徑（其中 k 為任意正數）作同心圓，

在這三圓上分別取如上的三點 DEF，

自 DEF 分別做三圓的切線，

三切線分別交於 ABC 三點，

當 EF 兩點固定不動，而 D 點稍微移動

可見 PA 固定不變，然 PBPC 比列卻不固定。


所以.......... 是我原始題目有抄錯，或是哪裡有想錯嗎？





還是......題目有說 ABC 是正三角形？

如果有說是正三角形的話，則

不失一般性，可設 P 為圓點，

BC:y=−1，

AC: 斜率為 −3  且距離原點為 2 的直線，取通過第一象限者，

AB: 斜率為 3  且距離原點為 3 的直線，取通過第二象限者，

找出三條直線方程式，解出交點 ABC，

即可得 PA2:PB2:PC2 之值.

我猜想，您圖形中如果D點稍微移動，其實三個邊長就跟著改變了，就不是同一個三角形，應該不能當作反例。

引用:

原帖由 fortheone 於 2010-5-21 07:40 PM 發表
我猜想，您圖形中如果D點稍微移動，其實三個邊長就跟著改變了，就不是同一個三角形，應該不能當作反例。

就是兩個不同的三角形，卻都滿足題意 PD:PE:PF=1:2:3，

但兩個三角形的 PB2:PC2 非固定比例！

可是題目還有邊長的限制呀~
不一樣的邊長就會得到不一樣的比例，
我是這樣想的^^

引用:

原帖由 fortheone 於 2010-5-21 08:15 PM 發表
可是題目還有邊長的限制呀~
不一樣的邊長就會得到不一樣的比例，
我是這樣想的^^

對耶，我完全漏看 AB=1BC=3AC=1  這一句了，

真是眼拙！

那就 easy 了！！


因為將題目圖形放大或縮小，則所有長度的比例不便，

假設將圖形縮放為 PD=1

可設 P 為原點，

BC:y=−1，

AC: 斜率為 −13  且距離原點為 2 的直線，取通過第一象限者，

AB: 斜率為 13  且距離原點為 3 的直線，取通過第二象限者，

找出三條直線方程式，解出交點 ABC，

即可得 PA2:PB2:PC2 之值.

引用:

原帖由 weiye 於 2010-5-21 08:23 PM 發表


對耶，我完全漏看 AB=1BC=3AC=1  這一句了，

真是眼拙！

那就 easy 了！！


因為將題目圖形放大或縮小，則所有長度的比例不便，

假設將圖形縮放為 PD=1

可 ...

用您的算法得比值為

1:730+93:715+63  

供參考

感謝提供解法!

wang.jpg (53.13 KB)

2010-6-26 08:48

參考一下吧

不知道為何不能附加圖片檔
上面如果沒有顯示
就請移駕
連結已失效h ttp://tw.myblog.yahoo.com/jw!ozHXUsWHHh7UxM0Y2TXK_uEdXwGqCw--/photo?pid=4171

六月八日才公佈題目
六月二十五日才被我找到
雖然晚了,大家一起來動動腦吧!

話說第7題，由前面兩式可以得到
x1+y1+z1=1x+y+z
然後就有對於奇數n
xn+yn+zn=(x+y+z)n
也就是就求題目所要的東西，前兩式已足夠。

感謝八神庵將題目找出來，否則學校拿掉公告，那就真的失傳了


1.一隻青蛙在ABCDE五點上跳動，每次落點異於跳點，假設從A出發，跳n次後仍回到A之跳法有an種，若an=kan−1+man−2 (n3)，k，m為常數，求數對(k,m)=？
[提示]
an+an−1=4n−1， \matrix{a_n+a_{n-1}=4^{n-1} \cr 4a_{n-1}+4a_{n-2}=4^{n-1}} ，兩式相減得 a_n=3a_{n-1}+4a_{n-2}

101.4.29補充
魯夫航行於A、B、C、D、E五座島嶼之間。每日清晨魯夫隨機前往任一其他島嶼並留宿該島的機率均為0.25。若第一天清晨魯夫從A島出發，設第n天晚上魯夫留宿於A島的機率為 P_n 。求滿足 \displaystyle \Bigg\vert\; P_n-\frac{1}{5} \Bigg\vert\; \le 10^{-9} 之最小n值。
(101台中一中，https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)


10.給定雙曲線Γ： \displaystyle \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{20}=1 與直線L： 3x+4y=k ，若在直線L上存在唯一的點P，使過P點對雙曲線可作二條互相垂直的切線，則P點座標=？
[提示]
https://math.pro/db/thread-723-1-1.html
二條互相垂直的切線的交點軌跡為 x^2+y^2=16
當k=±20時有唯一的點P