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用Maxima解題

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用Maxima解題

Maxima簡介
http://zh.wikipedia.org/wiki/Maxima

中文教學
http://math.nccu.edu.tw/~yenlung ... l/maximalinear.html
http://yenlung.math.nccu.edu.tw/index.html/idisk/maximalinear.pdf
http://math.npue.edu.tw/front/bin/ptlist.phtml?Category=119

其他的教學網頁
http://www.eonet.ne.jp/~kyo-ju/maxima.pdf
http://people.ysu.edu/~gkerns/maxima/
http://www.math.hawaii.edu/home/wxmaxima.html
http://maxima.sourceforge.net/documentation.html
101.6.16補充
http://math.stanford.edu/~paquin/MaximaBook.pdf
討論區
http://www.math.utexas.edu/pipermail/maxima/2013/

101.11.13補充
http://maxima-online.org/
線上執行maxima的網頁,輸入指令後點選Calculate。


當然Maple和Mathematica都是非常專業的軟體,各項功能都非常強大而且有眾多的套件可以解決不同領域的問題,這是Maxima所比不上的,但我只要能解決高中程度的問題,Maxima算是不錯的選擇
以下是我試用Maxima近一年來的筆記,放在這裡也算是個紀錄

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-8-17 06:42 AM 編輯 ]

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https://math.pro/db/thread-407-1-1.html
求出下列聯立方程式的解  \( x,y,z ∈R\)
$$ x+xy+xyz=12 $$
$$ y+yz+yzx=5 $$
$$ z+zx+zxy=6 $$


(%i1) x+x*y+x*y*z=12;  y+y*z+y*z*x=5;  z+z*x+z*x*y=6;
(%o1) \( xyz+xy+x=12 \)
(%o2) \( xyz+yz+y=5 \)
(%o3) \( xyz+xz+z=6 \)

/*
(2)式*x-(1)式
(3)式*y-(2)式
(1)式*z-(3)式*/


(%i4) ratsimp(%o2*x-%o1);  ratsimp(%o3*y-%o2);  ratsimp(%o1*z-%o3);
(%o4) \( x^2yz-x=5x-12 \)
(%o5) \( xy^2z-y=6y-5 \)
(%o6) \( xyz^2-z=12z-6 \)

/*
得到xyz=(6x-12)/x=(7y-5)/y=(13z-6)/z*/


(%i7) (%o4+x)/x;  (%o5+y)/y;  (%o6+z)/z;
(%o7) \( xyz=\frac{6x-12}{x} \)
(%o8) \( xyz=\frac{7y-5}{y} \)
(%o9) \( xyz=\frac{13z-6}{z} \)

/*
從(6x-12)/x=(7y-5)/y 得到y
從(6x-12)/x=(13z-6)/z 得到z*/


(%i10) solve([rhs(%o7)=rhs(%o8),rhs(%o7)=rhs(%o9)],[y,z]);
(%o10) [ [ \( y=\frac{5x}{x+12},z=\frac{6x}{7x+12} \) ] ]

/*
y,z分別代入(1)式*/


(%i11) ev(%o1,%o10[1]);
(%o11) \( \frac{30x^3}{(x+12)(7x+12)}+\frac{5x^2}{x+12}+x=12 \)

/*
解方程式得到x的三個答案x=4,-2,-3*/


(%i12) factor(%-12);
(%o12) \( \frac{72(x-4)(x+2)(x+3)}{(x+12)(7x+12)}=0 \)

/*
將x代回y=5x/(x+12),z=6x/(7x+12)
得到答案(4,5/4,3/5),(-2,-1,6),(-3,-5/3,2)*/


(%i13) ev(%o10[1],x=4);
(%o13) [ \( y=\frac{5}{4},z=\frac{3}{5} \) ]

(%i14) ev(%o10[1],x=-2);
(%o14) [ \( y=-1,z=6 \) ]

(%i15) ev(%o10[1],x=-3);
(%o15) [ \( y=-\frac{5}{3},z=2 \) ]

(%i16) 


[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-3-15 12:44 PM 編輯 ]

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http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47986
求經過(-1,-2),(0,4),(2,1),(4,-1)之等軸雙曲線方程式(97南港高工)


/*
設等軸雙曲線方程式為x^2+a*x*y-y^2+b*x+c*y+d=0;*/


(%i) x^2+a*x*y-y^2+b*x+c*y+d=0;
(%o1) \( -y^2+axy+cy+x^2+bx+d=0 \)

/*
將(-1,-2),(0,4),(2,1),(4,-1)四點的座標代入*/


(%i2) ev(%o1,x=-1,y=-2);  ev(%o1,x= 0,y= 4);  ev(%o1,x= 2,y= 1);  ev(%o1,x= 4,y=-1);
(%o2) \( d-2c-b+2a-3=0 \)
(%o3) \( d+4c-16=0 \)
(%o4) \( d+c+2b+2a+3=0 \)
(%o5) \( d-c+4b-4a+15=0 \)

/*
解聯立方程式得a,b,c,d*/


(%i6) solve([%o2,%o3,%o4,%o5],[a,b,c,d]);
(%o6) [[ \( a=-\frac{10}{19} , b=-\frac{91}{19} , c=\frac{53}{19} , d=\frac{92}{19} \) ]]

/*
將a,b,c,d代回原式得到答案


(%i7) ev(%o1,%[1]);
(%o7) \( -y^2-\frac{10xy}{19}+\frac{53y}{19}+x^2-\frac{91x}{19}+\frac{92}{19}=0 \)

(%i8) ratsimp(%*19);
(%o8) \( -y^2+(53-10x)y+19x^2-91x+92=0 \)



[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-3-21 10:56 PM 編輯 ]

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TRML2002團體賽
設實數數列\( <a_n> \)滿足\( a_n=a_{n-1}-a_{n-1} \) (\( n=1,2,... \)),且\( a_{100}=1 \),\( a_{200}=2 \),試求\( a_{300} \)。


(%i1) a[1]:a$  a[2]:b$  a[n]:=a[n-1]-a[n-2];
(%o3) \( a_n:=a_{n-1}-a_{n-2} \)

/*
列出數列前12項發現每隔6個一循環*/

(%i4) for n:1 thru 12 do print("a[",n,"]=",a[n]);
\( a[  1  ]= a \)
\( a[  2  ]= b \)
\( a[  3  ]= b-a \)
\( a[  4  ]= -a \)
\( a[  5  ]= -b \)
\( a[  6  ]= a-b \)
\( a[  7  ]= a \)
\( a[  8  ]= b \)
\( a[  9  ]= b-a \)
\( a[  10  ]= -a \)
\( a[  11  ]= -b \)
\( a[  12  ]= a-b \)
(%o4) done

/*
第100項為1,a=-1*/

(%i5) a[100]=1;
(%o5) \( -a=1 \)

/*
第200項為2,b=2*/

(%i6) a[200]=2;
(%o6) \( b=2 \)

/*
第300項為-3*/

(%i7) a[300];
(%o7) \( a-b \)



[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-3-31 10:03 PM 編輯 ]

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TRML2007個人賽
設數列{\( a_{n} \)}滿足\( a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n} \)且\( a_{2}=96 \)。已知此數列前2005項的和等於2006,則此數列前2007項的和等於


(%i1) a[1]:a$  a[2]:b$  a[n]:=a[n-1]-a[n-2];
(%o3) \( a_{n}:=a_{n-1}-a_{n-2} \)

/*
第2項為96,b=96

(%i5) a[2]=96;
(%o5) \( b=96 \)

/*
前2005項的和為2006,a=2006

(%i6) sum(a[k],k,1,2005)=2006;
(%o6) \( a=2006 \)

/*
前2007項的和為2b=192

(%i7) sum(a[k],k,1,2007);
(%o7) \( 2b \)

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滿足方程組\(  \frac{1}{x}+\frac{1}{2 y}=(x^2+3y^2)(3x^2+y^2)  \),\( \frac{1}{x}-\frac{1}{2 y}=2(y^4-x^4) \)的實數對\( (x,y) \)。
William Lowell Putnam Mathematical Competition 2001,97中一中
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=46779#8
2006 全國高中數學能力競賽台北市試題
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... h_TaipeiCity_02.pdf
2005 全國高中數學能力競賽台灣省雲嘉區試題
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_01.pdf


(%i1) 1/x+1/(2*y)=(x^2+3*y^2)*(3*x^2+y^2);
(%o1) \( \frac{1}{2y}+\frac{1}{x}=(y^2+3x^2)(3y^2+x^2) \)

(%i2) 1/x-1/(2*y)=2*(y^4-x^4);
(%o2) \( \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2(y^4-x^4) \)

(%i3) (%o1+%o2)*x;  (%o1-%o2)*y;
(%o3) \( 2=x(2(y^4-x^4)+(y^2+3x^2)(3y^2+x^2)) \)
(%o4) \( 1=y((y^2+3x^2)(3y^2+x^2)-2(y^4-x^4)) \)

(%i5) ratsimp(%o3);  ratsimp(%o4);
(%o5) \(  2=5xy^4+10x^3 y^2+x^5  \)
(%o6) \( 1=y^5+10x^2y^3+5x^4y \)

(%i7) factor(%o5+%o6);  factor(%o5-%o6);
(%o7) \( 3=(y+x)^5 \)
(%o8) \( 1=-(y-x)^5 \)

(%i9) %o7^(1/5);  %o8^(1/5);
(%o9) \( 3^{1/5}=y+x \)
(%o10) \( 1=x-y \)

(%i11) solve([%o9,%o10],[x,y]);
(%o11) \( [  [x=\frac{3^{1/5}+1}{2},y=\frac{3^{1/5}-1}{2}]  ] \)



[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-4-18 01:26 AM 編輯 ]

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用利美佛定理,表示出sin5θ=?(用sinθ表示),cos5θ=?(用cosθ表示)(新竹高中)
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=4189
用cosθ來表示cos5θ?(95士林高商)
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41891


利用利美佛定理,對(cosx+i*sinx)^5展開
cos5x+i*sin5x=(cosx+i*sinx)^5

(%i1) expand((cos(x)+%i*sin(x))^5);
(%o1) \( i sin(x)^{5}+5 cos(x)sin(x)^{4}-10 i cos(x)^{2}sin(x)^{3}-10 cos(x)^{3} sin(x)^{2}+5 i cos(x)^{4} sin(x)+cos(x)^{5} \)

分出實部虛部
(%i2) realpart(%)+%i*imagpart(%);
(%o2) \( i \left(sin(x)^{5}-10cos(x)^{2}sin(x)^{3}+5 cos(x)^{4}sin(x) \right)+5cos(x)sin(x)^{4}-10cos(x)^{3}sin(x)^{2}+cos(x)^{5} \)

實部用sin(x)^2=1-cos(x)^2換掉
虛部用cos(x)^2=1-sin(x)^2換掉

(%i3) ratsubst(1-cos(x)^2,sin(x)^2,realpart(%o2))+%i*(ratsubst(1-sin(x)^2,cos(x)^2,imagpart(%o2)));
(%o3) \( i \left(16sin(x)^{5}-20sin(x)^{3}+5sin(x) \right)+16cos(x)^{5}-20cos(x)^{3}+5cos(x) \)

另一種直接得到答案的方法
(%i4) trigexpand(cos(5*x));
(%o4) \( 5cos(x)sin(x)^{4}-10cos(x)^{3}sin(x)^{2}+cos(x)^5 \)
(%i5) ratsubst(1-cos(x)^2,sin(x)^2,%);
(%o5) \( 16 cos(x)^{5}-20 cos(x)^{3}+5 cos(x) \)

sin(5x)的答案
(%i6) trigexpand(sin(5*x));
(%o6) \( sin(x)^{5}-10 cos(x)^{2}sin(x)^{3}+5 cos(x)^{4}sin(x) \)
(%i7) ratsubst(1-sin(x)^2,cos(x)^2,%);
(%o7) \( 16 sin(x)^{5}-20 sin(x)^{3}+5 sin(x) \)

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求\( \frac{1}{(x-3)(x-2)^2} \)第八項的係數?
(97松山工農)

100.10.30補充題目出處
求\( \displaystyle \frac{1}{(x-3)(x-2)^2} \)中\( x^8 \)的係數。
答案:\( \displaystyle -\Bigg(\; \frac{1}{3} \Bigg)\; ^9-7 \Bigg(\; \frac{1}{2} \Bigg)\; ^{10} \)
張福春、曾介玫,一般生成函數之應用,數學傳播32卷3期 pp.12-35


/*
設定次方從小排到大*/

(%i) powerdisp : true;
(%o1) true

/*
假設1/((x-3)*(x-2)^2)展開式為
a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...

(%i2) 1/((x-3)*(x-2)^2)=sum(a[k]*x^k,k,0,10);
(%o2) \( \frac{1}{(-3+x)(-2+x)^2}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5}+a_{6}x^{6}+a_{7}x^{7}+a_{8}x^{8}+a_{9}x^{9}+a_{10}x^{10} \)

/*
將1/((x-3)*(x-2)^2)換成部分分式*/

(%i3) partfrac(lhs(%),x)=rhs(%);
(%o3) \( \frac{1}{-3+x}-\frac{1}{(-2+x)^2}-\frac{1}{-2+x}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5}+a_{6}x^{6}+a_{7}x^{7}+a_{8}x^{8}+a_{9}x^{9}+a_{10}x^{10} \)

/*
兩邊作八次微分*/

(%i4) diff(%, x, 8);
(%o4) \( \frac{40320}{(-3+x)^9}-\frac{362880}{(-2+x)^10}-\frac{40320}{(-2+x)^9}=40320 a_{8}+362880 a_{9}x+1814400 a_{10}x^2 \)

/*
用x=0代入,將其他x^n項去掉*/

(%i5) ev(%,x=0);
(%o5) \( -\frac{4858175}{17496}=40320 a_{8} \)

/*
兩邊同除8!=40320得到答案*/

(%i6) %/40320;
(%o6) \( -\frac{138805}{20155392}=a_{8} \)

/*
用泰勒展開式驗證答案*.

(%i7) taylor(1/((x-3)*(x-2)^2),x,0,8);
(%o7) \( -\frac{1}{12}-\frac{x}{9}-\frac{43x^{2}}{432}-\frac{97x^{3}}{1296}-\frac{793x^{4}}{15552}-\frac{761x^{5}}{23328}-\frac{11191x^{6}}{559872}-\frac{19939x^{7}}{1679616}-\frac{138805x^{8}}{20155392}+... \)


[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-10-30 07:02 PM 編輯 ]

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半徑為1cm、2cm、3cm的三個圓互相外切,如圖所示。有一個圓落於它們之間,分別與這三個外切,求這個小圓的半徑。
(98國立清水高中,https://math.pro/db/thread-836-1-1.html)


(%i1) (x-0)^2+(y-3)^2=(2+r)^2;
   (x-0)^2+(y-0)^2=(1+r)^2;
   (x-4)^2+(y-0)^2=(3+r)^2;
(%o1) \( (y-3)^2+x^2=(r+2)^2 \)
(%o2) \( y^2+x^2=(r+1)^2 \)
(%o3) \( y^2+(x-4)^2=(r+3)^2 \)

解出x
(%i4) ratsimp(%o2-%o3);  solve(%,[x]);
(%o4) \( 8x-16=-4r-8 \)
(%o5) \( \displaystyle [\ x=-\frac{r-2}{2} ]\ \)

解出y
(%i6) ratsimp(%o2-%o1);  solve(%,[y]);
(%o6) \( 6y-9=-2r-3 \)
(%o7) \( \displaystyle [\ y=-\frac{r-3}{3} ]\ \)

代回(2)式,得到r的方程式
(%i8) subst(rhs(%o5[1]),x,%o2);
(%o8) \( \displaystyle y^2+\frac{(r-2)^2}{4}=(r+1)^2 \)

(%i9) subst(rhs(%o7[1]),y,%);
(%o9) \( \displaystyle \frac{(r-2)^2}{4}+\frac{(r-3)^2}{9}=(r+1)^2 \)

解出r值
(%i10) solve(%,[r]);
(%o10) \( \displaystyle [\ r=\frac{6}{23},r=-6 ]\ \)

得圓心座標
(%i11) ev(%o5,%o10[1]);ev(%o7,%o10[1]);
(%o11) \( \displaystyle [\ x=\frac{20}{23} ]\ \)
(%o12) \( \displaystyle [\ y=\frac{21}{23} ]\ \)


[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-8-2 06:33 AM 編輯 ]

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題目出處 https://math.pro/db/thread-857-1-1.html

假設a,b是實數來解題,只是\( \overline{z_1 z_2} \)不曉得是相乘取共軛複數還是\( z_1 , z_2 \)在複數平面的距離


設定實部在前,虛部在後
(%i) powerdisp:true;
(%o) true


設定z1為√3/2*a+(a+1)i
(%2) z1:sqrt(3)/2*a+(a+1)*%i;
(%o2) \( \frac{\sqrt{3}a}{2}+%i(1+a) \)

設定z2為-3√3b+(b+2)i
(%i3) z2:-3*sqrt(3)*b+(b+2)*%i;
(%o3) \( -3^{3/2}b+%i(2+b) \)

將3z1^2+z2^2展開
(%i4) expand(3*z1^2+z2^2);
(%o4) \( \displaystyle -7-6a+3^{3/2}%i a-\frac{3a^2}{4}+3^{3/2}%ia^2-4b-4 \cdot 3^{3/2}%i b+26b^2-2 \cdot 3^{3/2}%i b^2 \)

將實部和虛部分開
(%i5) realpart(%o4)=0;imagpart(%o4)=0;
(%o5) \( -7-6a-\frac{3a^2}{4}-4b+26b^2=0 \)
(%o6) \( 3^{3/2}+3^{3/2}a^2-4 \cdot 3^{3/2}b-2 \cdot 3^{3/2}b^2=0 \)

(%i7) ratsimp(%o5*4);ratsimp(%o6/3^(3/2));
(%o7) \( -28-24a-3a^2-16b+104b^2=0 \)
(%o8) \( a+a^2-4b-2b^2=0 \)

得到a的解析式
(%i9) solve(%o7+%o8*3,a);
(%o9) \( \displaystyle [a=\frac{-4-4b+14b^2}{3}] \)

代回%o8,得到b的答案
(%i10) ev(%o8,%o9);factor(%);
(%o10) \( \displaystyle -4b-2b^2+\frac{-4-4b+14b^2}{3}+\frac{(-4-4b+14b^2)^2}{9}=0 \)
(%o11) \( \displaystyle \frac{4(-1+b)(-1+7b)(1+4b+7b^2)}{9}=0 \)

代回%o9,得到a的答案
(%i12) ev(%o9,b=1);ev(%o9,b=1/7);
(%o12) \( [a=2] \)
(%o13) \( [a=\frac{10}{7}] \)

或者直接用solve解%o7,%o8得a,b兩組答案
(%i14) solve([%o7,%o8],[a,b]);
(%o14) \( \displaystyle[[a=2,b=1],[a=\frac{10}{7},b=\frac{1}{7}]] \)

代回%o2,%o3,得到z1,z2兩組答案
(%i15) ev([%o2,%o3],%o14[1]);
(%o15) \( [\sqrt{3}+3%i,-3^{3/2}+3 % i] \)

(%i16) ev([%o2,%o3],%o14[2]);
(%o16) \( \displaystyle [-\frac{5 \sqrt{3}}{7}-\frac{3%i}{7},-\frac{3^{3/2}}{7}+\frac{15 %i}{7}] \)



[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-9-16 11:06 AM 編輯 ]

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