一個學生問的問題，也是雙週一題96學年度第一學期第三題。

引用:

想請問一題：
x+xy+xyz=12 .................(1)
y+yz+yzx=5 ...................(2)
z+zx+zxy=6 ...................(3)
求解。

(1) 左右同乘 z ，然後左右同加 z
(2) 左右同乘 x ，然後左右同加 x
(3) 左右同乘 y ，然後左右同加 y

可得

z+zx+zxy+xyz2=13z

x+xy+xyz+yzx2=6x

y+yz+yzx+zxy2=7y

亦即

(z+zx+zxy)+xyz2=13z

(x+xy+xyz)+yzx2=6x

(y+yz+yzx)+zxy2=7y

亦即

6+xyz2=13z

12+yzx2=6x

5+zxy2=7y

亦即

6=z(13−xyz)(4)

12=x(6−xyz)(5)

5=y(7−xyz)(6)

將 (4),(5),(6) 式相乘，可得

360=xyz(13−xyz)(6−xyz)(7−xyz)

令 t=xyz ，則

360=t(13−t)(6−t)(7−t)　⇒　t(t−13)(t−7)(t−6)+360=0

⇒　(t2−13t)(t2−13t+42)+360=0　⇒　(t2−13t)2+42(t2−13t)+360=0

⇒　(t2−13t−12)(t2−13t−30)=0　⇒　(t−12)(t−1)(t−3)(t−10)=0

所以 t=1213 或 10

亦即 xyz=1213 或 10 ，帶入 (4),(5),(6) 分別可以解出四組 xyz 的值。


後來，另外一個朋友 keith_291 的提醒：

引用:

作者: keith_291

小小吐槽一下XDDD
其實只有3組解喔
(12/5, 5/6 , 1/2)這組代回去會矛盾
因為他算是增根!

感謝，因為有同乘變數的動作，可能會增根，居然忘了帶入最早的方程式檢查，呵呵

所以實際上只有三組解。

(xyz)=(−3−352)(−2−16)或是(44553)

我的解答的 PDF 版本：

　　https://math.pro/temp/qq53.pdf


雙週一題的官方版解答：

　　http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/3ans.pdf

我仿照這篇來解這題　http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=116336
x+xy+xyz=12　...(1)

y+yz+yzx=5　...(2)

z+zx+zxy=6　...(3)

顯然xyz≠0
(2) × x－(1)　得　x−yzx2=12−5x，xyz=x6x−12

(3) × y－(2)　得　y−zxy2=5−6y， xyz=\frac{7y-5}{y}

(1) × z －(3)　得　 z-xyz^2=6-12z ， xyz=\frac{13z-6}{z}

所以 6-\frac{12}{x}=7-\frac{5}{y}=13-\frac{6}{z}

y=\frac{5x}{x+12} ， z=\frac{6x}{7x+12} 代入(1)式

x+\frac{5x^2}{x+12}+\frac{30x^2}{(x+12)(7x+12)}=12
化簡後
x^3+x^2-14x-24=0 ， (x-4)(x+2)(x+3)=0
得到三組解
(x , y , z)=(4 , \frac{5}{4} , \frac{3}{5})， (-2 , -1 , 6) ， (-3 , \frac{-5}{3} , 2)

另外用maxima解題,方法是一樣的

x+xy+xyz=9
y+yz+xyz=14
Z+zx+xyz=12  
求x,y,z實數解

參考站長大的解法
https://math.pro/db/thread-407-1-1.html

小弟也來個解法。這個題目的數據設計得不好，要解三次方程

\begin{align}   & x+xy+xyz=9 \\ & y+yz+xyz=14 \\ & z+zx+xyz=12 \\ &  \\ & xyz=t \\ & x+xy=9-t \\ & z\left( 1+x+xy \right)=12 \\ & z\left( 10-t \right)=12 \\ & z=\frac{12}{10-t},x=\frac{9}{15-t},y=\frac{14}{13-t} \\ &  \\ & \frac{9}{15-t}+\frac{9\times 14}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)}+\frac{9\times 14\times 12}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)\left( 10-t \right)}=9 \\ & \frac{1}{15-t}+\frac{14}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)}+\frac{168}{\left( 15-t \right)\left( 13-t \right)\left( 10-t \right)}=1 \\ & {{t}^{3}}-37{{t}^{2}}+438t-1512=0 \\ & \left( t-6 \right)\left( {{t}^{2}}-31t+252 \right)=0 \\ & t=6 \\ &  \\ & x=1,y=2,z=3 \\ \end{align}

謝謝 thepiano 大大