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解三元三次聯立方程式

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解三元三次聯立方程式

一個學生問的問題,也是雙週一題96學年度第一學期第三題。
引用:
想請問一題:
x+xy+xyz=12 .................(1)
y+yz+yzx=5 ...................(2)
z+zx+zxy=6 ...................(3)
求解。
(1) 左右同乘 z ,然後左右同加 z
(2) 左右同乘 x ,然後左右同加 x
(3) 左右同乘 y ,然後左右同加 y

可得

\[z+zx+zxy+xyz^2=13z\]
\[x+xy+xyz+yzx^2=6x\]
\[y+yz+yzx+zxy^2=7y\]

亦即

\[(z+zx+zxy)+xyz^2=13z\]
\[(x+xy+xyz)+yzx^2=6x\]
\[(y+yz+yzx)+zxy^2=7y\]


亦即

\[6+xyz^2=13z\]
\[12+yzx^2=6x\]
\[5+zxy^2=7y\]


亦即

\[6=z(13-xyz) .................(4)\]
\[12=x(6-xyz) ...................(5)\]
\[5=y(7-xyz) ...................(6)\]

將 (4),(5),(6) 式相乘,可得

\[360 = xyz(13-xyz)(6-xyz)(7-xyz)\]

令 \(t= xyz\) ,則

\[360 = t(13-t)(6-t)(7-t) ⇒ t(t-13)(t-7)(t-6)+360=0\]

\[⇒ (t^2-13t)(t^2-13t+42)+360=0 ⇒ (t^2-13t)^2 + 42 (t^2-13t)+360=0\]

\[⇒ (t^2-13t-12)(t^2-13t-30)=0 ⇒ (t-12)(t-1)(t-3)(t-10)=0\]

所以 \(t = 12, 1, 3,\) 或 \(10\)

亦即 \(xyz = 12, 1, 3,\) 或 \(10\) ,帶入 (4),(5),(6) 分別可以解出四組 \(x,y,z\) 的值。


後來,另外一個朋友 keith_291 的提醒:
引用:
作者: keith_291

小小吐槽一下XDDD
其實只有3組解喔
(12/5, 5/6 , 1/2)這組代回去會矛盾
因為他算是增根!
感謝,因為有同乘變數的動作,可能會增根,居然忘了帶入最早的方程式檢查,呵呵

所以實際上只有三組解。

\[(x,y,z) = (-3, -\frac{5}{3}, 2), (-2,-1,6) 或是 (4, \frac{5}{4}, \frac{3}{5})\]







我的解答的 PDF 版本:

  https://math.pro/temp/qq53.pdf


雙週一題的官方版解答:

  http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/3ans.pdf

TOP

我仿照這篇來解這題 http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=116336
\( x+xy+xyz=12 \) ...(1)

\( y+yz+yzx=5 \) ...(2)

\( z+zx+zxy=6 \) ...(3)

顯然\( x,y,z ≠0 \)
(2) × \( x \)-(1) 得 \( x-yzx^2=12-5x \),\( xyz=\frac{6x-12}{x} \)

(3) × \( y \)-(2) 得 \( y-zxy^2=5-6y \),\( xyz=\frac{7y-5}{y} \)

(1) × \( z \)-(3) 得 \( z-xyz^2=6-12z \),\( xyz=\frac{13z-6}{z} \)

所以\( 6-\frac{12}{x}=7-\frac{5}{y}=13-\frac{6}{z} \)

\( y=\frac{5x}{x+12} \),\( z=\frac{6x}{7x+12} \) 代入(1)式

\( x+\frac{5x^2}{x+12}+\frac{30x^2}{(x+12)(7x+12)}=12 \)
化簡後
\( x^3+x^2-14x-24=0 \),\( (x-4)(x+2)(x+3)=0 \)
得到三組解
\( (x , y , z)=(4 , \frac{5}{4} , \frac{3}{5})\),\( (-2 , -1 , 6) \),\( (-3 , \frac{-5}{3} , 2) \)

另外用maxima解題,方法是一樣的

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-3-4 09:31 PM 編輯 ]

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2009-3-4 21:31

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