引用:

原帖由 g112 於 2023-4-15 18:39 發表
想請問14和15  謝謝各位老師

15.
設\(\displaystyle A=\sum_{k=1000}^{3375}\frac{1}{\root 3\of{k}}\)，則\(A\)四捨五入至小數點後第一位的近似值為　　　。
[解答]
15題是大學微積分的，像integral test的證明的方法。
因為\(\displaystyle\frac1{\sqrt[3]{x}}\)為遞減函數
所以\(\displaystyle\int_{1000}^{3375}\frac1{\sqrt[3]{x}}dx+\frac1{15}<A<\int_{1000}^{3375}\frac1{\sqrt[3]{x}}dx+\frac1{10}\)
其中積分\(\displaystyle\int_{1000}^{3375}\frac1{\sqrt[3]{x}}dx=187.5\)
因此
上界：\(187.5+\frac1{10}=187.6\)。
下界：\(187.5+\frac1{15}>187.5666\)
所以答案為\(187.6\)。

引用:

原帖由 enlighten0626 於 2023-4-19 22:36 發表
請問這是用到什麼樣的數學概念？

用黎曼和積分與上矩形,下矩形面積和的大小不等式比較,來估計所求範圍
那個上矩形,下矩形面積和,我有設計過都可以用手算出來
只不過有點懶,直接用Mathematica算

我也對這個很困惑，不過幸運的在網路上找到解釋了，分享一下
https://zhuanlan.zhihu.com/p/585883053

分享一下第六題

IMG_0308.jpeg (321.06 KB)

2023-5-11 20:10

設四面體\(O-ABC\)，底面為邊長12的正三角形\(\Delta ABC\)，且\(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\)，令\(O\)在\(\Delta ABC\)的投影點為\(H\)，\(\overline{OH}=6\)，又\(A\)在側面\(\Delta OBC\)的投影點為\(K\)，於\(\overline{AK}\)上取一點\(P\)，使得\(\overline{AP}:\overline{PK}=5:1\)。若過\(P\)點有一平面\(E\)與底面\(\Delta ABC\)平行，則平面\(E\)與四面體\(O-ABC\)所截圖形之面積為　　　。
[解答]
架設坐標
\(B=(0,0,0)\)、\(C=(12,0,0)\)、\(A=(6,6\sqrt{3} ,0)\)
因為\(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}  \)
能有\(H=(6,2\sqrt{3},0)   \)
又 \(\overline{OH}=6\)，得\(O=(6,2\sqrt{3},6)\)
平面\( \bigtriangleup ABC  \)：\(  3y-\sqrt{3}z=0 \)
利用投影點公式，得\( K=(6,{\large\frac{3\sqrt{3} }{2}} ,{\large\frac{9}{2}})  \)
\(\overline{AP}：\overline{PK}=5：1   \)利用內分點公式，找到\(P=(6,{\large\frac{9\sqrt{3} }{4}} ,{\large\frac{15}{4}})   \)
由於點P到\( xy \)平面的高度為\({\large\frac{15}{4}}  \)
所以點O到所求所截出來的面的高度為\({\large\frac{9}{4}}  \)
\(\Rightarrow {\large\frac{9}{4}}  \)：\(\overline{OH}   \)＝\( 3 \)：\( 8 \)

因此所求的截面積與底面\( \bigtriangleup ABC  \)的比為
\(邊長^{2}比＝面積比 \)
\(3^{2}：8^{2}＝所求截面積：36\sqrt{3}   \)
所求截面積＝\( \Large\frac{81\sqrt{3}}{16}  \)

請教填充第九題

填充 9.
\([x]\)定義為小於或等於\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\left[\frac{2^3}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{2^{2023}}{3}\right]\)的個位數字為　　　。
[解答]
注意到 \( n \in \mathbb N \cup \{ 0 \} \) 時，

\( 2^{2n} \equiv 1 \)  (mod 3), \( 2^{2n+1} \equiv 2 \) (mod 3)

故有 \( \displaystyle \left[\frac{1}{3}\right] + \left[\frac{2}{3}\right] + \left[\frac{2^2}{3}\right] + \cdots \left[\frac{2^{2023}}{3}\right] = \frac{1 + 2 + 2^2 + \cdots  + 2^{2023} - 1012 - 1012 \cdot 2}{3} = \frac{2^{2024} - 3037}{3} \)

令 \(  \displaystyle A = \frac{2^{2024} - 3037}{3} \)

則 \( 3A = 2^{2024} - 3037 \equiv 2^4 -3037 \equiv 6 - 3037 \equiv 9 \) (mod 10)
( \( 2^n \) 模 10，每四項一個循環)

\( \Rightarrow A \equiv 21A = 7 \cdot 3A \equiv 7 \cdot 9 = 63 \equiv 3 \) (mod 10)

故所求個位數字即為 3 (A 除以 10 所得之餘數，即其個位數)。

請問第八題除了三角函數+拉格朗日算子求極值外有沒有其他更簡潔的方法?