引用:

原帖由 g112 於 2023-4-15 18:39 發表
想請問14和15  謝謝各位老師

15.
設A=3375k=100013k ，則A四捨五入至小數點後第一位的近似值為　　　。
[解答]
15題是大學微積分的，像integral test的證明的方法。
因為13x為遞減函數
所以1000337513xdx+115A1000337513xdx+110 
其中積分1000337513xdx=1875 
因此
上界：1875+110=1876。
下界：1875+1151875666
所以答案為1876。

引用:

原帖由 enlighten0626 於 2023-4-19 22:36 發表
請問這是用到什麼樣的數學概念？

用黎曼和積分與上矩形,下矩形面積和的大小不等式比較,來估計所求範圍
那個上矩形,下矩形面積和,我有設計過都可以用手算出來
只不過有點懶,直接用Mathematica算

我也對這個很困惑，不過幸運的在網路上找到解釋了，分享一下
https://zhuanlan.zhihu.com/p/585883053

分享一下第六題

IMG_0308.jpeg (321.06 KB)

2023-5-11 20:10

設四面體O−ABC，底面為邊長12的正三角形ABC，且OA=OB=OC，令O在ABC的投影點為H，OH=6，又A在側面OBC的投影點為K，於AK上取一點P，使得AP:PK=5:1。若過P點有一平面E與底面ABC平行，則平面E與四面體O−ABC所截圖形之面積為　　　。
[解答]
架設坐標
B=(000)、C=(1200)、A=(6630) 
因為OA=OB=OC  
能有H=(6230)   
又 OH=6，得O=(6236) 
平面ABC  ：  3y−3z=0 
利用投影點公式，得K=(623329)   
AP：PK=5：1  利用內分點公式，找到P=(6493415)   
由於點P到xy平面的高度為415  
所以點O到所求所截出來的面的高度為49  
49  ：OH  ＝3：8

因此所求的截面積與底面ABC  的比為
邊長2比＝面積比
32：82＝所求截面積：363   
所求截面積＝ \Large\frac{81\sqrt{3}}{16}  

請教填充第九題

填充 9.
[x]定義為小於或等於x的最大整數，則\displaystyle \left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\left[\frac{2^3}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{2^{2023}}{3}\right]的個位數字為　　　。
[解答]
注意到 n \in \mathbb N \cup \{ 0 \} 時，

2^{2n} \equiv 1   (mod 3), 2^{2n+1} \equiv 2 (mod 3)

故有 \displaystyle \left[\frac{1}{3}\right] + \left[\frac{2}{3}\right] + \left[\frac{2^2}{3}\right] + \cdots \left[\frac{2^{2023}}{3}\right] = \frac{1 + 2 + 2^2 + \cdots  + 2^{2023} - 1012 - 1012 \cdot 2}{3} = \frac{2^{2024} - 3037}{3}

令   \displaystyle A = \frac{2^{2024} - 3037}{3}

則 3A = 2^{2024} - 3037 \equiv 2^4 -3037 \equiv 6 - 3037 \equiv 9 (mod 10)
( 2^n 模 10，每四項一個循環)

\Rightarrow A \equiv 21A = 7 \cdot 3A \equiv 7 \cdot 9 = 63 \equiv 3 (mod 10)

故所求個位數字即為 3 (A 除以 10 所得之餘數，即其個位數)。

請問第八題除了三角函數+拉格朗日算子求極值外有沒有其他更簡潔的方法?