也想請教各位老師，關於17題除了估計，是否有嚴謹的做法說明是1.5

第 6 題
  a2=b2+c2−2bccosA  AD=db2+c2=221a2+2d2d2=2b2+c2−21a2=2b2+c2−21b2+c2−2bccosA=4b2+c2+2bccosA  ABC2=4ADC241b2c2sin2A=441adsinADC2=41a2d2sin2ADCsin2ADC=a2d2b2c2sin2A=b2c2sin2Ab2+c2−2bccosA4b2+c2+2bccosA=4b2c2sin2Ab2+c22−4b2c2cos2A=4b2c2−4b2c2cos2Ab2+c22−4b2c2cos2A0cos2A1  b2+c224b2c24b2c2b2+c22  sinADC2bcb2+c2  

[ 本帖最後由 thepiano 於 2023-4-11 18:13 編輯 ]

謝謝老師指點!

第15題 提供另一個作法

當年被105武陵慘虐之後，看到Math Pro的高手用這招，就一直熟記在心。

17. 令

S=nk=1kk+2  =nk=1k+12−1  nk=1k+1  =2nn+3 

又由 GM HM

S=nk=1kk+2  nk=1k+1kk+2  =nk=1k+1k+12−1  =nk=1k+1  −nk=11k+1 

因此  

23−nnk=11k+1nS−2n23 

令

Hn=nk=11k+1 

，由Stolz-Cesaro Theorem，

limnHn+1−Hnn+1−n=limn1n+2=0limnnHn=0 

         
所以

limn23−nnk=11k+1=limn23=23 

，由夾擠定理，

limnnS−2n=23

[ 本帖最後由 ouchbgb 於 2023-4-14 13:21 編輯 ]

引用:

原帖由 ouchbgb 於 2023-4-12 15:33 發表
17. 令 \[S = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {k\left( {k + 2} \right)} }  = \sum\limits_{k = 1}^n {\sqrt {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} }  < \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {k + 1} \right)}  = \frac{{n ...

紅色處的不等式方向應是相反

謝謝指正, 抱歉.

想了很久，不知道這樣的寫法對不對

8題
代入幾項觀察可發現a1=1,a2=2,a4=3,a11=5....
數列1,2,4,7,11...猜測第k項為1+(1+2+...+k-1)=1+k(k-1)/2
令m=1+k(k-1)/2代入am可得am=k故得證

考試我是這樣寫，不確定有沒有給分


15題
設duece時最後假獲勝機率為P
則P=0.6*0.6+0.6*0.4P+0.4*0.6P (接下來兩局的所有可能情形)
可得P=9/13
所求為0.6P=27/65

[ 本帖最後由 no40508888 於 2023-4-13 11:50 編輯 ]

想請問第16題
我算出來x＝500*(4/3)^1000
不知是否正確