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111新北市高中聯招

引用:
原帖由 dorara501 於 2022-5-9 17:57 發表
您好,想請問填充7的題意是什麼意思??
看了您的算式後還是不太理解題目想要求的是什麼QQ
謝謝!!
擲了10顆骰子,
若全都是3點,那就是只有一種點數。
若是1122555566,就是四種點數。
若1111122333,就是三種點數。

題意就是問,擲了十顆骰子,期望會出現幾種點數。
正常算是利用1*只出現一種點數的機率,所以是\(1\times\frac{6}{6^{10}}\)
再加上2*恰出現兩種點數的機率,所以是\(2\times\frac{C^6_2(2^{10}-C^2_11^{10})}{6^{10}}\)。
加上3*恰出現三種點數的機率,…直到6,這樣算也可以,比較煩一點。
通常都是利用期望值的性質來算比較快,這招一定要會的,教甄很常很常用這招。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2022-5-10 13:10 編輯 ]

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第4題,跟別位教授討論之後,發現有更簡單的算法。
由題意知\(f(7n+8)+8n+7=7^3(n-1)(n-2)(n-3)\)
所以\(4\)代入就是答案了。

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填10:
令X=A-B,Y=B-C,Z=C-A
先證:
2X+2Y+2Z=0,則cos(2X)+cos(2Y)+cos(2Z)的最小值為-3/2----------------(*)
則(cosX)² +(cosY)² +(cosZ)²
=(3/2) + (1/2)* [cos(2X)+cos(2Y)+cos(2Z)]
≧ (3/2) +(1/2)*(-3/2)    (由(*)得)
=3/4

註: (*)證明請參考:
https://math.pro/db/thread-1753-1-1.html

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-5-9 21:58 編輯 ]

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回復 31# DavidGuo 的帖子

非常感謝,懂了~

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第2題
用國中作法

[ 本帖最後由 yuhui1026 於 2022-5-10 18:55 編輯 ]

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2022-5-10 18:48

1652179659528.jpg

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計算第 1 題
f(x) = Q_1(x)(x - 1)^2 + ax + b
= Q_2(x)(x + 1)^2 + bx + a
= Q_3(x)(x - 1)^2(x + 1)^2 + cx^3 + dx^2 + ex
ac ≠ 0

f(1) = a + b = c + d + e
f(-1) = a - b = - c + d - e
可解出 a = d,b = c + e

f '(1) = a = 3c + 2d + e
f '(-1) = b = 3c - 2d + e

d = 3c + 2d + e
c + e = 3c - 2d + e

可解出 d = c,e = -4c

R(x) = cx^3 + dx^2 + ex = cx^3 + cx^2 - 4cx = 0
x(x^2 + x - 4) = 0
x = 0 or (-1 ± √17)/2


計算第 2 題
(1) 當 n + 1 為完全平方數,且有 m 個正因數,易知 m 是正奇數
[√(n + 1)] = [√n] + 1
Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) = Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + m
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) =  [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + (m + 1)
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) 和 [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) 同奇或同偶

(2) 當 n + 1 不為完全平方數,且有 m 個正因數,易知 m 是正偶數
[√(n + 1)] = [√n]
Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) = Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + m
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) =  [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) + m
[√(n + 1)] + Σ[(n + 1) / k] (k = 1 ~ n + 1) 和 [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) 同奇或同偶

(3) 而 n = 1 時,[√1] + [1 / 1] = 2,是偶數
故對任意正整數 n, [√n] + Σ[n / k] (k = 1 ~ n) 必為偶數

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計算第二題補充



[ 本帖最後由 tony90233 於 2022-5-11 10:57 編輯 ]

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111新北聯招最後一題.pdf (77.36 KB)

2022-5-11 10:50, 下載次數: 267

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回覆 36# thepiano 的帖子

請問計算(1)
我的作法跟您差不多,只有假設R(x)=c(x+1)(x-1)^2+d(x-1)^2+ax+b  
最後會得到 x(2x^2-x-5)=0 與答案不同
請問我R(x)的假設方法是哪裡出錯了嗎?

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回覆 38# jerryborg123 的帖子

請寫一下您的完整做法

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回覆 39# thepiano 的帖子

剛剛重寫一次發現過程計算有誤,更正後得到相同答案
謝謝老師

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