請教第6、8題

引用:

原帖由 Harris 於 2022-4-22 11:12 發表
請問老師11題如何得到-1這個答案？我只有算出k=3，是因為還有其他k值嗎？

鋼琴老師已回~
補充一下 這題其實是國中的資優題
但如果是給國中生考,另一個 a+b+c=0的情況可能就會有問題
因為此時a,b,c會出現複數解

謝謝兩位老師的回應

另外回覆21樓：
第6題
實係數多項方程式f(x)=x4+2(k−2)x3−7(k−1)x2+px+q=0，已知2+i為其複數根，另有兩根為實數，求pq的最小值為　　　
[解答]
將原多項式除以(x^2-4x+5)商式為(x^2+2kx+(k+2))，展開得到p=6k-8，q=5k+10
搭配上兩實根，剩下就是二次函數配方法而已囉

第8題
坐標平面上，C：x2+y2=1，一定點A(−20)，Q為圓C上的動點，以Q為中心，將A點逆時針旋轉90度得P點，求動點P的軌跡方程式為　　　
[解答]
設Q(cos,sin)，AQ向量和PQ向量垂直且等長
P點參數式(cos+sin, sin-cos-2)，消掉參數式就是答案囉

謝謝老師解惑

第四題
設有一張長方形的紙ABCD，已知AB=8，BC=4，通過對角線BD的中點M且垂直於BD的直線分別交AB與CD於E、F兩點，當以EF為折線把紙ABCD折起來，使得平面AEFD垂直於平面EBCF，此時若CFD= ，0，求cos=　　　。
[解答]
另一個做法
先求得 線段AE=3,線段BM=25 
接著座標化得B(4225)E(300)A(000) 
最後因為向量EB平行 向量FC
利用 向量EA與 向量EB 求得

請問第13題
印象中好像某年考過類似的題目?

第 13 題
已知一個圓內接八邊形P1P2P3P4P5P6P7P8，若P1P2=P3P4=P5P6=P7P8=3，且P2P3=P4P5=P6P7=P8P1=4，則此八邊形面積=　　　
[解答]
把八邊形切成全等的 4 塊
每塊四個邊長分別是 3、4、r、r，其中 r 是半徑
r 和 r 這兩邊的夾角是 90 度，3 和 4 這兩邊的夾角是 135 度
再搭配餘弦定理就可以了

空間中一點P(431)，C：x2+(y−1)2+(z−5)2=13x+2y+2z=3 ，QC，求PQ之最大值為[u]　　　[/u]

版上老師好   請問第一題不知道哪裡算錯了

過程如附件

Q1在平面x+2y+2z=3上，但是需要檢查一下Q1有沒有在圓上(在球上又在平面上的那圈)

填充第 1 題
空間中一點P(431)，C：x2+(y−1)2+(z−5)2=13x+2y+2z=3 ，QC，求PQ之最大值為　　　
[解答]
這題至少有 3 個學校考過，不過都是求最小值
家齊改成求最大值

求出 P(4，3，1) 在平面 x + 2y + 2z = 3 的投影點 P'(3，1，-1)
平面和球的交圓之圓心為 O(-1，-1，3)，半徑 2

PQ 之最大值 = √[PP'^2 + (OP' + 2)^2] = √73