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110鳳山高中

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請教填充第14題

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引用:
原帖由 enlighten0626 於 2021-8-9 18:44 發表
請教填充第14題
[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-8-9 21:28 編輯 ]

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2021-8-9 21:28

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第14題
參照Ellipse老師的做法,
後面用tan的關係式解,
提供參考。

由題設得下面向量內積
\(6\overset\rightharpoonup{AB}\cdot \overset\rightharpoonup{AC}=3\overset\rightharpoonup{BA}\cdot \overset\rightharpoonup{BC}=4\overset\rightharpoonup{CA}\cdot \overset\rightharpoonup{CB}\)
即\(6bc cosA=3acc osB=4ab cosC\)
所以\(tanA:tanB:tanC=6:3:4\)
設tanA=6t, tanB=3t, tanC=4t
利用\(tanA+ tanB+ tanC=tanA tanB tanC\)
可得\(tanA=\sqrt{\frac{13}{2}}\)
故得\(sinA=\sqrt{\frac{13}{15}}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2021-8-10 08:07 編輯 ]

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了解,感謝上面兩位老師的解惑

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引用:
原帖由 anyway13 於 2021-7-31 22:57 發表
板上老師好

請問填充9,要怎麼做出p=11呢?

一個一個從p=1測試,和不會做在考場裡面是一樣的
我也分享一個方法
說來慚愧,我對於手算開根號真的不熟練,所以只好想其他方法
 
從\(\sqrt{433},\sqrt{434}\)可以推得\(20<\frac{q}{p}<21\),設\(q=20p+k,\,\,0<k<p\),  \(k\)為整數

平方後得到  \(\displaystyle 433<\frac{400p^2+40pk+k^2}{p^2}<434 \) => \(\displaystyle 33<\frac{40k}{p}+\frac{k^2}{p^2}<34 \) ,其中\(0<\frac{k^2}{p^2}<1\)

所以可推得\(\displaystyle 32<\frac{40k}{p}<34 \),即  \(\displaystyle 0.8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}<\frac{k}{p}<\frac{17}{20}=0.85 \)。

利用上面的不等式,去找出可能的\(\frac{k}{p}\)

從\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{k}{p}\),先找分母比分子恰巧多1的情形:\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{5}{6}<\frac{17}{20}\)。而\(\displaystyle\frac{6}{7}>\frac{17}{20}\),不合。
故分子分母恰差1的情況,只可能是\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{5}{6}\)

從\(\displaystyle\frac{8}{10}<\frac{k}{p}\),再找分母比分子恰巧多2的情形:\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{9}{11}<\frac{17}{20}\),且\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{11}{13}<\frac{17}{20}\)。而\(\displaystyle\frac{13}{15}>\frac{17}{20}\),不合。
故分子分母恰差2的情況,只可能是\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{9}{11}\)或\(\displaystyle\frac{11}{13}\)

先試試看吧,都不合再來找分子分母差3以上的。

接著用\(\displaystyle 33<\frac{40pk+k^2}{p^2}<34 \)找出真的可行的

若\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{5}{6}\),則\(\displaystyle\frac{1200+25}{36}=\frac{1225}{36}>34\)不合

若\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{9}{11}\),則\(\displaystyle\frac{3960+81}{121}=\frac{4041}{121}≈33.4\),符合

故選擇\(p=11,\,k=9\),即\(q=20*11+9=229\),所求為\(\frac{229}{11}\)

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-8-17 10:26 編輯 ]

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回復 35# 5pn3gp6 的帖子

謝謝5pn3gp6 老師的分享  受教了

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關於第九題
其實一開始在逼近的時候就發現皆是20.8…
所以要有整數夾兩者,一定要從11開始試試看,這樣前面就不用試了(發現前面鋼琴老師已經說明了…
14題可以用垂心性質得到兩個關係式,相乘可以得到cos平方,再找sin就好(反正恆正)

[ 本帖最後由 shihqua 於 2021-8-18 11:19 編輯 ]

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回復 3# bugmens 的帖子

想問老師,為何要將n分開假設成奇數和偶數的樣子呢?

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第11題

請教老師們第十一題
我直接列出向量長度的式子 ,做配方求出 b=2/9 a= -5/9
請問這樣做為什麼不對?

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回復 39# jerryborg123 的帖子

配方完應是 α = 5/3,β = 14/3 時,有最小值 6

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