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110鳳山高中

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回復 19# anyway13 的帖子

計算第2題
這題其實不難,就計算量大了點,考試時一定要先跳過
設直線AB的方程式為\(y=mx+k\),\(A\left( {{x}_{1}},m{{x}_{1}}+k \right),B\left( {{x}_{2}},m{{x}_{2}}+k \right)\)
\(\begin{align}
  & \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{\left( mx+k \right)}^{2}}}{16}=1 \\
& \left( 25{{m}^{2}}+16 \right){{x}^{2}}+50mkx+\left( 25{{k}^{2}}-400 \right)=0 \\
& {{\left( 50mk \right)}^{2}}-4\left( 25{{m}^{2}}+16 \right)\left( 25{{k}^{2}}-400 \right)=0 \\
& {{k}^{2}}=25{{m}^{2}}+16 \\
& {{x}_{1}}=-\frac{50mk}{2\left( 25{{m}^{2}}+16 \right)}=-\frac{50mk}{2{{k}^{2}}}=-\frac{25m}{k} \\
&  \\
& {{x}^{2}}+{{\left( mx+k \right)}^{2}}={{R}^{2}} \\
& \left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}+2mkx+\left( {{k}^{2}}-{{R}^{2}} \right)=0 \\
& {{\left( 2mk \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+1 \right)\left( {{k}^{2}}-{{R}^{2}} \right)=0 \\
& {{k}^{2}}={{R}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right) \\
& {{x}_{2}}=-\frac{2mk}{2\left( {{m}^{2}}+1 \right)}==-\frac{m{{R}^{2}}}{k} \\
&  \\
& {{k}^{2}}={{R}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)=25{{m}^{2}}+16 \\
& {{m}^{2}}=\frac{16-{{R}^{2}}}{{{R}^{2}}-25} \\
&  \\
& {{\overline{AB}}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( m{{x}_{1}}-m{{x}_{2}} \right)}^{2}}=\left( {{m}^{2}}+1 \right){{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}} \\
& =\left( {{m}^{2}}+1 \right){{\left( -\frac{25m}{k}+\frac{m{{R}^{2}}}{k} \right)}^{2}} \\
& =\left( {{m}^{2}}+1 \right)\times \frac{\frac{16-{{R}^{2}}}{{{R}^{2}}-25}{{\left( {{R}^{2}}-25 \right)}^{2}}}{{{R}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)} \\
& =\frac{\left( 16-{{R}^{2}} \right)\left( {{R}^{2}}-25 \right)}{{{R}^{2}}} \\
& =41-\left( {{R}^{2}}+\frac{400}{{{R}^{2}}} \right) \\
& \le 41-40 \\
& =1 \\
\end{align}\)
\(\overline{AB}\)長的最大值是1,等號成立於\(R=2\sqrt{5}\)時

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計算二
也分享一個拙拙的做法,參考附圖:

\(\overleftrightarrow{AB}\)為切線,則\(\overline{AG}\)為 角\(F_2AF_1\) 的角平分線。 設\(\overline{AF_2}=k,\,\overline{AF_1}=10-k\),則\(\overline{GF_2}=\frac{3}{5}k,\,\overline{GF_1}=\frac{3}{5}(10-k)\)

由角平分線性質可得
\(\overline{AG}=\sqrt{\overline{AF_2}×\overline{AF_1}-\overline{GF_2}×\overline{GF_1}}=\frac{4}{5}\sqrt{k(10-k)}\)

因為\(\overline{AB}=\overline{GO}×|\sin\theta|\),所以先推出\(\sin\theta\)。

由三角形\(AGF_2\):
\(\displaystyle\cos\theta=\frac{\overline{AG}^2+\overline{GF_2}^2-\overline{AF_2}^2}{2\overline{AG}· \overline{GF_2}}=\frac{\frac{16}{25}k(10-k)+\frac{9}{25}k^2-k^2}{2×\frac{4}{5}\sqrt{k(10-k)}×\frac{3}{5}k}=\frac{4(5-k)}{3\sqrt{k(10-k)}}\)

所以\(\displaystyle\sin\theta=±\sqrt{1-\frac{16(5-k)^2}{9k(10-k)}}=\frac{5}{3}\sqrt{\frac{(k-2)(k-8)}{k(k-10)}}\)

\(\displaystyle\overline{AB}=\overline{GO}×|\sin\theta|=\frac{3}{5}(5-k)\frac{5}{3}\sqrt{\frac{(k-2)(k-8)}{k(k-10)}}=\sqrt{\frac{(k^2-10k+25)(k^2-10k+16)}{k(k-10)}}\)

而\(\displaystyle\frac{(k^2-10k+25)(k^2-10k+16)}{k(k-10)}=\frac{400}{k(k-10)}+k(k-10)+25+16=41-\left(\frac{400}{k(10-k)}+k(10-k)\right)\leq41-2\sqrt{400}=1\)
 
所以最大值為1,此時\(\displaystyle\frac{400}{k(10-k)}=k(10-k)\),解得\(k=5±\sqrt{5}\)或 \(k=5±3\sqrt{5}\)(後者不合,因為\(2\leq k\leq 8\))

將\(k=5-\sqrt{5}\)代入 \(cos\theta=\frac{4(5-k)}{3\sqrt{k(10-k)}}=\frac{2}{3}\)

此時,由梯形ABOG可得 \(\displaystyle R=\overline{BO}=\overline{AG}+\overline{GO}×\cos\theta=\frac{4}{5}\sqrt{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}+\frac{3\sqrt{5}}{5}×\frac{2}{3}=2\sqrt{5}\)

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-8-5 11:19 編輯 ]

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回復 20# Jimmy92888 的帖子

謝謝Jimmy92888老師提供別的關係式

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回復 21,22# thepiano,5pn3gp6 的帖子

謝謝兩位老師   腦袋真的比較直   真在考場八成會選和鋼琴老師一樣的做法(不過鋼琴老師的暴力法  小弟必須加強就是)

5pn3gp6老師用的光學性質提供的妙招  真想不到

[ 本帖最後由 anyway13 於 2021-8-5 19:00 編輯 ]

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引用:
原帖由 anyway13 於 2021-8-5 00:32 發表
計算二發現Ellipse老師已經有分享了   亂七八糟的過程就先撤下了
剛也嘗試一下不同解法,請參考看看~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-8-6 00:59 編輯 ]

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110鳳山_計2.jpg (414.21 KB)

2021-8-6 00:50

110鳳山_計2.jpg

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#回覆計算2

好久沒來這裡回了XD分享小弟淺見!

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228158918_509961606781760_849949364296818662_n.jpg (881.6 KB)

2021-8-6 01:07

228158918_509961606781760_849949364296818662_n.jpg

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請教填充4

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回復 27# enlighten0626 的帖子

填充4.
任取三個有 \( C^{20}_3 = 1140 \)
其中共線的有
(以長寬為 y,x軸方向)
斜率 0 :\( C^4_3 \times 5 = 20 \)
斜率 1,-1:\( (C^3_3+C^4_3+C^4_3+C^3_3) \times 2 = 20 \)
斜率 2,-2:\( (1+1) \times 2= 4 \)
斜率不存在:\( C^5_3 \times 4 = 40 \)
無其它共線
故所求為 \( \frac{1140-84}{1140} = \frac{88}{95} \)
網頁方程式編輯 imatheq

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回復 25#Ellipse26 # 王重鈞的帖子

謝謝Ellipse和王重鈞老師的分享,我這塊磚引了好多玉  XD

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回復 28# tsusy 的帖子

了解,感謝解惑

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