7.
小萱從半徑為6，圓心角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)的扇形，金屬材料中剪出一個長方形\(PQRS\)，且\(\overline{PQ}\)與\(∠AOB\)的平分線\(\overline{OC}\)平行，若將長方形\(PQRS\)彎曲，使\(\overline{PQ}\)與\(\overline{RS}\)重合焊接成為圓柱的側面，則當圓柱側面的面積最小時，試求此圓柱的體積。(假設此圓柱有上下底面)

四邊形\(ABCD\)是內接於一扇形的正方形，頂點\(A\)、\(D\)分別在扇形的兩半徑上，頂點\(B\)、\(C\)在扇形的弧上，而\(M\)是扇形的弧中點。設扇形的半徑為\(r\)，而圓心角\(∠AOD=\theta\)是一銳角，則正方形\(ABCD\)的面積為　　　。(以\(r\)與\(\theta\)表示)
(97高中數學能力競賽台北市筆試二試題，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)

3條直線\(L_1,L_2,L_3\)，斜率\(\displaystyle m_1=\frac{1}{3},m_2=\frac{4}{5},m_3=-\frac{1}{4}\)，且\(L_1\)被\(L_2,L_3\)截出線段90，則圍成\(\Delta\)面積為何？

坐標平面上有三條直線\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)，其中\(L\)的斜率為\(\displaystyle \frac{1}{4}\)，\(L_1\)、\(L_2\)的斜率分別為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)、\(\displaystyle -\frac{3}{4}\)。已知\(L\)被\(L_1\)、\(L_2\)所截出的線段長為51，則\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)所決定的三角形的面積為　　　。
(108松山工農，https://math.pro/db/thread-3145-1-1.html)

12.
令\(a_n\)為\(\sqrt{n}\)最接近的整數，求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2000}a_n\)。

類似題
設\(a_n\)表示與\(\sqrt{n}\)最接近的整數(\(n\)為正整數)，試求\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_{2012}}。\)
(建中通訊解題第97題，連結已失效h ttp://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37)

想請教12題，
如果是取高斯的話是sum k_1^44 (2001-k^2)
可是最接近的該如何處理?

請教3, 5題，謝謝

第 12 題
1 有 2 個
2 有 4 個
3 有 6 個
4 有 8 個
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44 有 88 個
45 有 20 個

第 5 題，也算常見的考古題了
1. 設過原點 \( (0,0) \) 有三條相異直線與 \( f(x)=x^{3}+kx^{2}+1 \) 相切，則實數 \( k \) 值的範圍為 __________。(100楊梅高中、99台中二中、102復興高中)

2. 三次曲線\(y=x^3+ax^2+1\)，若通過原點可做出此曲線的三條相異切線，求實數\(a\)的範圍為。(107中科實中國中部)

3. 三次曲線 \( y=x^{3}+ax^{2}+x+1 \)，若由原點可作三條相異之切線，試求實數 \( a \) 的範圍。(101中科實中、96台中一中)
瑋岳老師的解答：https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=5#pid5091

4. \( a\in\mathbb{R} \)，過 \( P(a,2) \) 作 \( y=f(x)=x^{3}-3x^{2}+2 \) 的切線，若所作的切線恰有一條，求 \( a \) 的範圍。(97大里高中)

5. 三次曲線 \( y=x^{3}+kx^{2}+x+1 \)，若由原點恰可作兩條切線，試求實數 \( k \) 範圍。(102松山家商)

6. 已知函數圖形 \( \Gamma:\,f(x)=x^{3}-x \)，而點 \( P(a,0) \) 是圖形外一點，若過 \( P \) 恰可作相異三條的切線，則 \( a \) 的範圍為 \( \underline{\qquad\qquad} \)。(102北門高中)

7. 平面上動點 \( P(a,b) \)，已知通過點 P 對函數 \( f(x) = -x^3 + 2x + 3 \) 圖形可做三條切線，找出符合的關係式。(106高雄女中)

感謝鋼琴老師，茅塞頓開
n與n+1中共(n+1)^2-n^2-1=2n個數
其中(n+0.5)^2=n^2+n+0.25>n^2+n
因此數量靠近n和n+1的個數對分
1有1+1
2有1+1+2
3有1+2+3
n有1+(n-1)+n=2n

第 3 題
依正射影公式可計算 \( (x',y') \)
\(\displaystyle \left(\frac{(x,y)\cdot(a,b)}{a^{2}+b^{2}}\right)(a,b)=\left(\frac{a^{2}x+aby}{a^{2}+b^{2}},\frac{abx+b^{2}y}{a^{2}+b^{2}}\right) \)

因此線性變換 \( T \) 的表示矩陣為 \(\displaystyle \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\begin{bmatrix}a^{2} & ab\\
ab & b^{2}
\end{bmatrix} \)

請問7.10

10.甲隊獲勝有C(6,0)+C(7,1)+...+C(12,6)=C(13,6)
同理乙也是C(13,6)，故所求為2*C(13，6)

10.
H的8取6*2

想法如下
視為有其中一隊獲勝第七場就停止比賽
設兩隊為A、B
不失一般性設A隊獲勝記為✔ 輸了記為✖
若A隊最終獲勝 就會出現第七個✔
比賽紀錄：☐✔☐✔☐✔☐✔☐✔☐✔☐✔
那麼這7個☐最多出現6次B
反之亦然