第 7 題，算得有點醜，如有錯誤，還請指正

令 \( \overline{SP}=2x, \overline{SR}=y，則 (\sqrt{3}x+y)^{2}+x^{2}=6^{2} \Rightarrow4x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3}xy=36 \)。

而圓柱側面積為 \( 2xy \)。

由算幾不等式有 \(\displaystyle \frac{4x^{2}+y^{2}}{2}\geq\sqrt{4x^{2}y^{2}}=2xy \Rightarrow(4+2\sqrt{3})xy\leq36 \Rightarrow xy\leq36-18\sqrt{3} \)

因此可得 \( y=2x \) 時，圓柱有最大側面積，此時 \( x = \frac{3}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \)

而此圓柱的體積為 \(\displaystyle \pi(\frac{2x}{2\pi})^{2}y=\frac{2x^{3}}{\pi}=\frac{81\sqrt{6}-135\sqrt{2}}{\pi} \)

第 10 題
C(14，7) = 3432
甲隊從 14 個位置中，選 7 個排入已安排好上場次序的 7 人，剩下給乙隊，比照辦理
排成一列後，由左至右依序是輸的順序

這份題目有一半以上是考古題，要高分才能進複試

請問第四題，偶數跟奇數的2:1位置不同，該如何用二項型寫出一般式呢？

也可以想成7x7棋盤格,從左下角的點開始,向右或向上走捷徑
假設向右一步表示甲被淘汰一個,向右兩步表示甲被淘汰兩個,..........
假設向上一步表示乙被淘汰一個,向上兩步表示乙被淘汰兩個,..........
所有賽局狀況,都可以一一對應到棋盤格走捷徑之路徑
所求=(7+7)! /(7!*7!)=3432

引用:

原帖由 thepiano 於 2021-4-17 23:17 發表
這份題目有一半以上是考古題，要高分才能進複試

大概要7x~8x分進複試

第4題
\(\begin{align}
  & {{x}_{0}}=0 \\
& {{x}_{1}}=1 \\
& {{x}_{2}}={{x}_{0}}+\frac{1}{3}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{0}} \right)=\frac{1}{3}{{x}_{1}}+\frac{2}{3}{{x}_{0}} \\
& {{x}_{3}}={{x}_{2}}+\frac{2}{3}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\frac{1}{3}{{x}_{2}}+\frac{2}{3}{{x}_{1}} \\
& {{x}_{4}}={{x}_{2}}+\frac{1}{3}\left( {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right)=\frac{1}{3}{{x}_{3}}+\frac{2}{3}{{x}_{2}} \\
& : \\
& : \\
& {{x}_{n}}=\frac{1}{3}{{x}_{n-1}}+\frac{2}{3}{{x}_{n-2}} \\
\end{align}\)

圓周跟高都跟寸絲老師算一樣，但最後忘記兩倍數字算錯了，寸絲老師的數字才是對的。

謝謝寸絲老師！

題目說的是對戰方式，至於最後哪一隊贏則並不關心。
上場方式與對戰過程的輸贏有密切關聯(甲輸則甲下一位上場)，
但問題會出在當最後剩下甲乙各一人時，不需要管誰輸誰贏。

因此以走捷徑方式去看，在(0,0)-->(7,7) 所有捷徑中，
甲輸則往右走，乙輸則往上走，得到的捷徑數是所有對戰可能過程數。
由(6,6)-->(7,7)有兩條路徑(甲乙雙方剩一人時有兩種對戰結果)，
這兩條只算一次(兩種對戰結果當作一種來計算)，
所以答案應該是(0,0)-->(7,7)捷徑數扣掉(0,0)-->(6,6)捷徑數，
C(14,7)-C(12,6)

(驗證2對2或3對3會更清楚)