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105中科實中試題與解答(官方版本)

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回復 30# shihtc 的帖子

題目若是改成長期而言的期望值除了用矩陣運算外,還可以用組合C來運算
\( \displaystyle \frac{C_2^2}{C_2^5}\times 20+\frac{C_1^2 \times C_1^3}{C_2^5}\times 15+\frac{C_2^3}{C_2^5}\times 10=14 \)

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填充題 13. 設 A袋有2個十元硬幣,B袋有3個五元硬幣,從A袋任取一個錢幣與B袋任取一個錢幣互換,進行3次後,求A袋中錢幣金額的期望值為?


原理: 一袋中有 n 個硬幣,共 m 元,隨機取走 1 個硬幣,則取走的硬幣金額期望值 = m/n 元,剩餘的硬幣金額期望值 = m - (m/n) 元。


本題 A 袋 與 B 袋各維持 2 與 3 個硬幣。依上述,當金額 (A袋 , B袋) = (a , b) 時,進行一次互換後,金額期望值 [A袋 , B袋] = [ (a/2) + (b/3) , (a/2) + (2b/3) ]

依據期望值的定義,用"列舉"的方法思考,可知上述遞推關係亦適合於金額期望值 (A袋 , B袋) = (a , b) 時。


以下依此依序計算兩袋金額期望值 (注意總金額不變): (a , b) = (20 , 15) → (15 , 20) → (85/6 , 125/6) → (505/36 , X)

上述過程,亦可用 (a , b) 與二階方陣的線性變換表示; 該二階方陣亦具"推移矩陣"之形式。


(當互換次數趨近無限大,A袋金額期望值 = (20 +15)*(2/5) = 14 元。)

-------------------------------------

若本題題目改為: "先從A袋任取一個錢幣至B袋,再由B袋任取一個錢幣至A袋",則遞推關係為 [a , b] → [ (5a/8) + (b/4) , (3a/8) + (3b/4) ]



[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-11 01:32 PM 編輯 ]

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請教一下 第二題

請問一下版上老師

填充二 做到柯西不等式成立時  x/a=(-y/b)=3/2
            和第二式(2a/3b^2)+(b/2)+(3b/a)=3  就卡住了...

用答案去推過程 發現第二式各別都要相等於1,觀念不清楚,請教大家一下!!

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回復 33# anyway13 的帖子

填充第 2 題
第二式用算幾

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回復 34# the piano 的帖子

謝謝鋼琴老師指點迷津

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填充第7題題目中:

如右圖……。「若」有通過P點,……

題目只有題到「若」有通過P點(「若」是如果的意思),那麼「若」沒有通過呢?題目並沒有多做說明。
所以我認為這題題目裡是可以從A走捷徑到B而不通過P的,依然要算是題目裡所說的走法。
那麼這題答案有誤。
如果當初出題時想的走法一定要經過P,那麼題目就要寫清楚。
希望將來命題或公佈答案上,能多加留意。

感謝樓下 37# thepiano 老師的說明,之前沒仔細檢查,所以搞錯了@@。
我原來是直接算,分成不過P和過P,兩種情況來處理。經詳細檢查後,一樣算出正確答案。
也謝謝 thepiano 老師提供的方法。

[ 本帖最後由 Chen 於 2020-2-21 23:01 編輯 ]

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回復 36# Chen 的帖子

用全部走法扣掉過 P 且未轉彎的情形,答案是 155 種沒錯

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