題目若是改成長期而言的期望值除了用矩陣運算外，還可以用組合C來運算
\( \displaystyle \frac{C_2^2}{C_2^5}\times 20+\frac{C_1^2 \times C_1^3}{C_2^5}\times 15+\frac{C_2^3}{C_2^5}\times 10=14 \)

填充題 13. 設 A袋有2個十元硬幣，B袋有3個五元硬幣，從A袋任取一個錢幣與B袋任取一個錢幣互換，進行3次後，求A袋中錢幣金額的期望值為?


原理: 一袋中有 n 個硬幣，共 m 元，隨機取走 1 個硬幣，則取走的硬幣金額期望值 = m/n 元，剩餘的硬幣金額期望值 = m - (m/n) 元。


本題 A 袋 與 B 袋各維持 2 與 3 個硬幣。依上述，當金額 (A袋 , B袋) = (a , b) 時，進行一次互換後，金額期望值 [A袋 , B袋] = [ (a/2) + (b/3) , (a/2) + (2b/3) ]

依據期望值的定義，用"列舉"的方法思考，可知上述遞推關係亦適合於金額期望值 (A袋 , B袋) = (a , b) 時。


以下依此依序計算兩袋金額期望值 (注意總金額不變): (a , b) = (20 , 15) → (15 , 20) → (85/6 , 125/6) → (505/36 , X)

上述過程，亦可用 (a , b) 與二階方陣的線性變換表示; 該二階方陣亦具"推移矩陣"之形式。


(當互換次數趨近無限大，A袋金額期望值 = (20 +15)*(2/5) = 14 元。)

-------------------------------------

若本題題目改為: "先從A袋任取一個錢幣至B袋，再由B袋任取一個錢幣至A袋"，則遞推關係為 [a , b] → [ (5a/8) + (b/4) , (3a/8) + (3b/4) ]



[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-11 01:32 PM 編輯 ]

請問一下版上老師

填充二 做到柯西不等式成立時  x/a=(-y/b)=3/2
            和第二式(2a/3b^2)+(b/2)+(3b/a)=3  就卡住了...

用答案去推過程 發現第二式各別都要相等於1,觀念不清楚,請教大家一下!!

填充第 2 題
第二式用算幾

謝謝鋼琴老師指點迷津

填充第7題題目中：

如右圖……。「若」有通過P點，……

題目只有題到「若」有通過P點(「若」是如果的意思)，那麼「若」沒有通過呢？題目並沒有多做說明。
所以我認為這題題目裡是可以從A走捷徑到B而不通過P的，依然要算是題目裡所說的走法。
那麼這題答案有誤。
如果當初出題時想的走法一定要經過P，那麼題目就要寫清楚。
希望將來命題或公佈答案上，能多加留意。

感謝樓下 37# thepiano 老師的說明，之前沒仔細檢查，所以搞錯了@@。
我原來是直接算，分成不過P和過P，兩種情況來處理。經詳細檢查後，一樣算出正確答案。
也謝謝 thepiano 老師提供的方法。

[ 本帖最後由 Chen 於 2020-2-21 23:01 編輯 ]

用全部走法扣掉過 P 且未轉彎的情形，答案是 155 種沒錯

想請教填充8、15 ，謝謝各位老師～

填充 15. 在複數平面上，把 \( |z_1 - z_2 | \) 解讀成兩點距離
則有平行四邊形定理 (或中線定理) 可得
\( 14 \times 2 = |2z|^2 + |1+i - (-1-i)|^2 \)

\( \Rightarrow |z| = \sqrt{5} \)

第 8 題
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