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105中科實中試題與解答(官方版本)

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請教填充第六,十題!

6.
若一元四次多項式方程式\(x^4-12x^3+46x^2-60x+11=0\)的四個根分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\),且方程式\( \displaystyle \frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}+\frac{1}{x-d}=0 \)的三個實根由小至大分別為\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\),則有序數組\( \left( x_1,x_2,x_3 \right)= \)?

10.
若\( \alpha_1,\alpha_2, \ldots ,\alpha_{105} \)為\(x^{105}+2x^{104}+3=0\)的複數根,則\( (\alpha_1^2+1)(\alpha_2^2+1)\ldots(\alpha_{105}^2+1)= \)?

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第6&10題
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[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-23 09:39 AM 編輯 ]

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2016-5-23 09:37

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2016-5-23 09:39

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回復 5# thepiano 的帖子

鋼琴老師,12題懇請賜教,願聞其詳啊!
此外也請老師們指導計算題1、2兩題,感謝您!

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請教填充第十一題!

11.
在\( \Delta ABC \)中,\( ∠A \)、\( ∠B \)、\( ∠C \)的對邊長度各別為\(a\)、\(b\)、7,則求\(a^2 cos 2B+2ab cos(A-B)+b^2 cos 2A\)之值=?

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回復 13# 六道 的帖子

第12題
求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left( \sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\sqrt{4n^2-3^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right)= \)?
[解答]
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{4{{n}^{2}}}\left( \sqrt{4{{n}^{2}}-{{1}^{2}}}+\sqrt{4{{n}^{2}}-{{2}^{2}}}+\sqrt{4{{n}^{2}}-{{3}^{2}}}+\cdots +\sqrt{4{{n}^{2}}-{{n}^{2}}} \right) \\
& =\frac{1}{4}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \sqrt{4-{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-{{\left( \frac{2}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-{{\left( \frac{3}{n} \right)}^{2}}}+\cdots +\sqrt{4-{{\left( \frac{n}{n} \right)}^{2}}} \right) \\
& =\frac{1}{4}\int_{0}^{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}} \\
\end{align}\)
即求X軸、Y軸、x=1和\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)在第一象限所圍成區域面積的\(\frac{1}{4}\)

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回復 13# 六道 的帖子

計算第2題
這是特徵根相同的遞迴數列,可參考高中數學競賽教程
答案是\(\left( 3-n \right)\times {{2}^{n-2}}\)

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回復 14# jyi 的帖子

第11題
這種考填充,直接用特例正三角形,不用1分鐘

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請教填充4,5

不好意思,轉不出來
卡住了
請教填充3,4
謝謝
計算題第一題答案
是這樣算嗎?


[ 本帖最後由 chiang 於 2016-5-23 09:35 PM 編輯 ]

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回復 18# chiang 的帖子

第3題
某學生想安排週日一天的讀書活動,他將時間分成上午四節、下午四節,共八節等長的時間,欲安排入三節數學,以及英文、國文、化學、物理、公民各一節,但是為了避免讀書太單調,所以不管是分別在上午或下午的時段中,任兩節數學課都不可以連排,又因為中午有休息的關係,可以第四、五節同時排數學,則他本次週日的讀書活動有多少種排法?
[解答]
上午排2節數學,下午排1節或反之
上午排2節數學有3種排法,下午排1節數學有4種排法
所求=3*4*5!*2


第4題
近幾年的新聞有看過冤獄國賠的例子,情形如下:凡經檢方起訴,經法官一審後被判有罪,即須入監服刑,服刑完畢之後,無罪的人一定會提起冤獄賠償訴訟,而有罪的人會提起冤獄賠償訴訟的機率為\( \displaystyle \frac{1}{2} \),且冤獄賠償訴訟只能提告一次,經法官判定後即不能再上訴。假設
(1)被檢方起訴的人有\( \displaystyle \frac{4}{5} \)的人真的有罪,
(2)每位法官誤判的機率為\( \displaystyle \frac{1}{10} \)。
若已知有一個人被判有罪,服滿刑期後,提起了冤獄訴訟,而獲得了國賠。請問他真的應該獲得國賠的機率為?
[解答]
有罪的人,判決有罪,提出國賠,獲得國賠:\( \displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}\)
無罪的人,判決有罪,提出國賠,獲得國賠:\( \displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}\)
所求\( \frac{\displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}}{\displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}+\frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}}\)

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回復 18# chiang 的帖子

Chiang兄 我計算第一題跟你的想法做法一樣 看分數是有拿到的 但是我第二題也有寫 可是時間不夠程度不夠沒逼出來 不知道是否有部份分數 總之第一題照您的做法是有分數的 只是不知道是否10分都有就是了

此外附上第5題  在下野人獻曝的做法

5.
設實數\( a,b,c,d \)滿足\( a^2+b^2=9 \)且\( (c-5)^2+(d-12)^2=4 \),則\( ad-bc \)的最大值為?

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2016-5-23 22:00

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