第13題我是用向量還有點到平面的距離來做，我覺得簡單一點～

由於習慣切成n等分
所以我的做法是這樣

\(\displaystyle \frac{1}{4}\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)\sqrt{4-\left(\frac{i}{n}\right)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4}\int_0^1 \sqrt{4-x^2}dx\)

10.
在擲一個公正骰子的遊戲中規定：若遊戲者在一次投擲中擲出的點數並非6點，則此遊戲者只能拿到\(m\)元並停止遊戲；若遊戲者擲出6點，怎可獲得獎金10元並有再次擲骰子的機會。已知一遊戲者要玩這個遊戲直到他擲到非6點才停止遊戲的得獎金期望值5元，則\(m=\)　　　。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

12.
將與2015互質的正整數由小到大排列，則第2015個數為　　　。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~

14.
若多項式方程式\(x^3+4x^2+5x-8=0\)的三根為\(\alpha,\beta,\gamma\)，試求以\(\displaystyle \frac{2}{\alpha+2},\frac{2}{\beta+2},\frac{2}{\gamma+2}\)為三根的多項式方程式。

如圖檔, 有錯請指教,感恩~   小弟能力有限,104高市聯招解到此

15.
令\(\displaystyle N=\sum_{k=1}^{2015}k\left[log_2 k \right]\)，其中\(\left[log_2 k \right]\)表不大於\(log_2 k\)的最大整數，試問\(N\)除以1000的餘數為　　　。

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2015-6-24 11:25

13.
給定空間中四點\(A(a_1,a_2,a_3),B(2,-3,6),C(11,1,5),D(6,d_2,d_3)\)，若\(A,B,C,D\)四點形成一正四面體，且\(a_1,a_2,a_3,d_2,d_3\)皆為整數，試求\(A\)點坐標。

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2015-6-24 13:53

第2題
證明\(x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。
[證明]
\(f(x)=x^8-x^5+x^2+x+1\)
　\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2-\frac{1}{4}x^2+x^2+x+1\)
　\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}x^2+x+1\)
　\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}(x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9})+1-\frac{1}{3}\)
　\(\displaystyle =(x^4-\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}(x^2+\frac{2}{3})^2+\frac{2}{3}\)
∴\(f(x)\)恆正即\(f(x)=0\)無實根

第 15 題
令\(\displaystyle N=\sum_{k=1}^{2015}k\left[log_2 k \right]\)，其中\(\left[log_2 k \right]\)表不大於\(log_2 k\)的最大整數，試問\(N\)除以1000的餘數為　　　。

N = S1 - S2，其中:

S1 = 10*(1 + 2 + ... + 2015)

S2 = (n =1 to 10) ∑ [1 + ... + (2ⁿ-1) ] = ∑ (2²ⁿ - 2ⁿ) /2


S1 = 10*(1/2)*2015*2016 ≡ 10*(1/2)*15*16 ≡ 10*20 ≡ 200 (mod 1000)

S2 = (1/3)*2*(4¹° - 1) - 1023 ≡  (1/3)*2*1025*1023 - 1023 ≡ (1/3)*2*25*23 - 23 ≡ (1/3)*150 - 23 ≡ 50 - 23 ≡ 27 (mod 1000)

N = S1 - S2 ≡ 200 - 27 ≡ 173 (mod 1000)

請問一下第七題中的ON線段為何是根號三倍的sin