第1題、第2題如圖，
如果觀念有錯誤請幫忙指正!!謝謝，
其實第二題我也只是馬後炮...
在車上才想到要這樣做
一開始一直在解a^2-ab-b^2=0移項a^2-b^2=ab，(a+b)(a-b)=ab但是後來我就解不出來了 冏....
看來還是得要多多熟悉考場的感覺，不然一進去有種腦袋一片空白的感覺..
1.
將一長、寬、高分別為3、6、9的長方體盒子放於桌面上(設為xy平面)，若已知其中一頂點A(2,1,0)，與A相鄰兩頂點坐標為B(3,3,2)、C(8,-5,3)，則此長方體最高點距離桌面高度為 。
[解答]
長：3
寬：6
高：9
A(2,1,0)、B(3,3,2)、C(8,-5,3)
\overline{AB}=3、\overline{AC}=9
\vec{AB}=(1,2,2)、\vec{AC}=(6,-6,3)
公垂向量=(2,1,-2)
利用\vec{AB}=(1,2,2)可得D(9,-3,5)
令最高點E=(9+2t,-3+t,5-2t)
\overline{DE}=\sqrt{4t^2+t^2+(-2t)^2}=6
9t^2=36
t=\pm 2
則E=(13,-1,1)或者E=(5,-5,9)，但E=(13,-1,1)不合(長方體在桌面上)
故最高點離桌面為9
2.
一正數x的整數部分記為a(即a=\left[x \right]，\left[ \right]為高斯記號)，小數部分記為b，其中0\le b<1，則所滿足a^2=x \cdot b的正數x為 。
[解答]
Let x=a+b，a為整數，0\le b<1
a^2=x \cdot b=(a+b)\cdot b=ab+b^2
移項得
a^2-ab=b^2
a(a-b)=b^2
a=b或a=b^2的情況只有一種，就是a=b=0，
故a=1，a-b=b^2，
1-b=b^2，b^2+b-1=0，\displaystyle b=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}(負不合，因為0\le b<1)
故\displaystyle b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},a=1
\displaystyle x=a+b=1+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
