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103鳳新高中

引用:
原帖由 thepiano 於 2014-6-9 08:21 PM 發表

這一題是費氏數列
a_1 = 1,a_2 = 2
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
a_12 = 233
太強了吧?
這樣您都可以連結~~

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填1:
請看附件.gif
當角BCD=60度時
等腰梯形面積為最大
過程請先想一下~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-9 09:19 PM 編輯 ]

附件

三個10公分圍成等腰梯形b.gif (1.3 MB)

2014-6-9 21:17

三個10公分圍成等腰梯形b.gif

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填充1,
設下底(靠河岸的邊)為10+2x,
則高為(100-x^2)^0.5
面積為(10+x)* h = [(10+x)^3 (10-x) ] ^0.5
令f(x) = (10+x)^3 (10-x)
可求出x=5時,f(x)有極大值

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解一題填充2:
以前看過類似的題目,是兩人賭錢的問題求某人把錢贏光的機率:
本題假設\(\left\{ {{P}_{n}} \right\}\)的一般項\({{P}_{k}}\)表示一開始位置落在數線上\(k\)時,質點能落在-1的機率,則所求為\({{P}_{0}}\).
(1) 先觀察 \({{P}_{0}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{{P}_{1}}\),
(2) \({{P}_{1}}\)表示一開始在1要走到-1的機率,由乘法原理,可以拆成兩個步驟:1走到0, 0走到-1,兩步驟機率都是\({{P}_{0}}\), 故\({{P}_{1}}={{\left( {{P}_{0}} \right)}^{2}}\)
(3) 代回上式,解\({{P}_{0}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{{\left( {{P}_{0}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{P}_{0}}=\frac{1}{2}\) (向右的機率比較大,故\({{P}_{0}}=1\)不合)
這題值得一提的是,若向右向左的機率依樣時,則不斷持續的擲下去,百分之百會跑到-1, 有點不太直觀。

(剛剛看到版主有在 #2 附上本題的相關文章,寫得比我清楚多了,大家也可以參考)

填充3: \(\int_{0}^{4}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}\)
填充4:跟103武陵高中第9題類似,作法差不多
填充5:生成函數或者重複組合
填充7:好像有公式,不太確定能不能用紅球與非紅球的觀念下去帶
填充10:不論是哪連續三列寫開,答案都是 1 / 2

計算11:
之前看過寸絲兄用過的神招,印象深刻,算是現學現賣XD
考慮拋物線 \({{y}^{2}}=8px\), 過焦點\(\left( 2p,0 \right)\)與拋物線所截的所有線段中,以正焦弦所在直線\(x=2p\)所截的長度為最短。考慮線性映射\(\left( x,y \right)\mapsto \left( x,\frac{y}{2} \right)\) ,將\(y\)座標壓(伸縮)為\(\frac{1}{2}\)倍,可得到拋物線\({{y}^{2}}=2px\) , 故過\(\left( 2p,0 \right)\)與此拋物線所截的所有線段中,亦以直線\(x=2p\)所截的長度為最短,證畢。

103.07.26 小弟這邊處理的不夠細膩,請在參閱寸絲兄在 #27 的補充說明。

計算15:
用Jacobian證:
考慮\(x=0,y=0,z=0,x={{d}_{1}},y={{d}_{2}},z={{d}_{3}}\) 所圍區域體積為\(V=\left| {{d}_{1}}{{d}_{2}}{{d}_{3}} \right|\)
考慮線性變換:
\( \displaystyle \left\{ \begin{align}
  & x={{a}_{1}}x'+{{b}_{1}}y'+{{c}_{1}}z' \\
& y={{a}_{2}}x'+{{b}_{2}}y'+{{c}_{2}}z' \\
& z={{a}_{3}}x'+{{b}_{3}}y'+{{c}_{3}}z' \\
\end{align} \right.\Rightarrow \frac{\partial \left( x,y,z \right)}{\partial \left( x',y',z' \right)}=\left| \begin{matrix}
   {{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}}  \\
   {{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}}  \\
   {{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}}  \\
\end{matrix} \right|=\Delta \)
則\( \displaystyle V'=\left| \frac{\partial \left( x',y',z' \right)}{\partial \left( x,y,z \right)} \right|V=\frac{V}{\Delta }\), 得證
純幾何的方式可能等高手待補,這一塊小弟不是很擅長XD

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-26 08:10 PM 編輯 ]

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請問填充第六解法中  a_n是指有n人時候符合規定之牌法
a_1 = 1,a_2 = 2
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)     <------------------這條要怎想呢
a_12 = 233
__________________________
另外填充第五題
我利用重複組合概念與集合概念
計算得 C(17,11)-7*C(12,6)=5908  <-----有錯嗎@@

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回復 15# 瓜農自足 的帖子

第 6 題
設 a_n 是 n 個小朋友重新入座的方法數
(1) 第 n 個人坐回原座位,有 a_(n-1) 種方法
(2) 第 n 個人與第 (n-1) 人互換,有 a_(n-2) 種方法
故 a_n = a_(n-1) + a_(n-2)

第 5 題
應要把有 2 個箱子在 7 球(含) 以上的情形"加"回來才對,因為這部份重複扣了二次

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-12 12:15 AM 編輯 ]

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謝謝鋼琴師
___________________________________
想請問第十題怎麼證連三列,式子都是1/2呢
以及第十題想請教用解析幾何解法

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回復 17# 瓜農自足 的帖子

第10題給你參考
假設第k列、第k+1列、第k+2列的一般項為\({{a}_{i}},{{b}_{i}},{{c}_{i}}\) 則\( \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{k+1}{\frac{{{b}_{i}}}{{{c}_{i}}}}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\frac{{{a}_{i}}}{{{b}_{i}}}}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}{\frac{C_{i}^{k+1}}{C_{i}^{k+2}}}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\frac{C_{i}^{k}}{C_{i}^{k+1}}}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}{\left( 1-\frac{i}{k+2} \right)}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\left( 1-\frac{i}{k+1} \right)}=\frac{1}{2}\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-12 09:38 AM 編輯 ]

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回復 18# hua0127 的帖子

謝謝hua師,原來就純粹化簡就可相消。
另外想請問第八題,訂座標方法感覺挺繁複的,應該有個性質沒用到,無法化繁為簡...

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回復 19# 瓜農自足 的帖子

第8題:
一開始我也想說用向量解~但這想法解到一半就有點複雜~
如圖觀察此圓為三角形\(CBZ\)的內切圓,令\(\overline{AD}=2r,\overline{CD}=\overline{CF}=x,\overline{BD}=\overline{BE}=y,\overline{ZE}=\overline{ZF}=z\),
則由母子相似性質, \({{\left( 2r \right)}^{2}}=xy\), 再結合 \({{r}^{2}}=\frac{xyz}{\left( x+y+z \right)}\)(由海龍公式推得),
可得知\(x+y=3z\), 故 \(\overline{ZB}+\overline{ZC}=10\Rightarrow x+y+2z=10\Rightarrow z=2\Rightarrow x+y=6\)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 08:56 PM 編輯 ]

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