這邊用到托勒密定理比較方便的地方應該是BE / AB = 25+1 
令BE=x , 則 xx=x1+11x=25+1 

果然橢圓兄化減得簡潔漂亮多了~容小弟整理一下：
(1) 若本題面積改為任意的實數k0, 由橢圓兄提供的簡潔面積算式可推出：
   

61−  3=k−  3=6k 

, 由於, 取−=36k ,仿橢圓兄作法，另一方面，由

−  2=+  2−4=336k2=4X2−4=X2−4336k2 

.
    故中點XY 滿足方程式Y=2X2−=X2+4336k2 .
    這形式的重點應該是說，無論面積為何，所求軌跡必為一以y軸為軸之拋物線。

(2) 利用此結論，做填充題時我們只要求出頂點即可，解−2−x2dx=34 , 可馬上得到=1, 故本題答案y=x2+1.

請問最後一行的積分式如何來的?

[ 本帖最後由 Herstein 於 2014-6-8 09:45 AM 編輯 ]

計算1. 試求滿足103x+17y=2014的所有正整數解及一般整數解。
法1：歐拉法
17y=2014-103x
17y=118＊17+8-6＊17x-x
y=118-6x +1/17(8-x)
Let x=8+17t，t∈Z
y=118-6(8+17t)-t=70-103t
當t=0時 x,y為正整數解

法2：輾轉相除法
由輾轉相除法原理得知 (103,17)=1且1=103-17＊6
同乘2014
2014=103＊2014-17＊6＊2014
Put x=2014，y=-6＊2014
Let x=2014+17t，y=-6＊2014-103t，t∈Z
欲求x,y都是正整數
x=2014+17t > 0
t>-118.‧‧‧‧‧‧
y=-6＊2014-103t > 0
t<-117.‧‧‧‧‧‧
故知t=-118
帶入x=2014+17t，y=-6＊2014-103t
x=8，y=70

小弟的數論和微分方程算是很弱的一環，常常考試的時候都敗在這類題目，不知道各位老師有沒有更快的做法?

[ 本帖最後由 wrty2451 於 2014-6-8 01:08 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 wrty2451 於 2014-6-8 10:36 AM 發表
計算1. 試求滿足103x+17y=2014的所有正整數解及一般整數解。

17y=2014-103x
17y=118＊17+8-6＊17x-x
y=118-6x +1/17(8-x)
Let x=8+17t
y=118-6(8+17t)-t=70-103t

當t=0時 x,y為正整數解

小弟的數論和微分方程算是很弱的 ...

法1:輾轉相除法

法2:歐拉法 (就是您用的方法)

法3:連分式

法4:聽說還可以用矩陣做

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-8 10:48 AM 編輯 ]

原來那叫做歐拉法......
謝謝橢圓兄
我再想想要如何利用另外的做法算出來

引用:

原帖由 wrty2451 於 2014-6-8 10:51 AM 發表
原來那叫做歐拉法......
謝謝橢圓兄
我再想想要如何利用另外的做法算出來

這些方法的原理都來自
"輾轉相除法"

考慮直線為水平線y=2時，
此時中點會產生在拋物線的軸上，此點必為頂點

橢圓兄所提到的矩陣法應該是這個方法：

考慮增廣矩陣做列運算  103  17100  1    1  1710−6  1    1  01−17−6  103   
則不定方程式103x+17y=2014的整數通解為
\left\{ \begin{align}   & x=2014\left( 1 \right)-17t \\ & y=2014\left( -6 \right)+103t \\ \end{align} \right.,t\in \mathbb{Z}

其實不會特別快XD，速度上差不多，原理都是找一組特解再放大(輾轉相除法)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-8 03:04 PM 編輯 ]

計算2-2
以下提供幾何方式，運用托勒密定理而不用餘弦定理

\displaystyle mn=ac+bd \cdots (1)

過C作BD平行線與圓交於E，連接EB、ED、EA，那麼 \displaystyle BE=CD=c,DE=BC=b

再對ABED用托勒密定理得到 \displaystyle n \times AE=ab+cd  \cdots (2)

同樣的過B作AC的平行線與圓交於F，連接FA、FC、FD，那麼 \displaystyle FA=BC=b,FC=AB=a

再對AFCD用托勒密定理得到 \displaystyle m \times DF=ad+bc  \cdots (3)

因為 \displaystyle DE=BC=AF ，所以 \displaystyle AE=DF

(1)(3)相乘再除以(2) 得到  \displaystyle m^2=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}

(1)(2)相乘再除以(3) 得到  \displaystyle n^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}

最後得證

另外，填充12要記公式的話，推薦  \displaystyle a \cos A+b \cos B+c \cos C
雖不好算，但很實在。

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-8 10:39 PM 編輯 ]