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103彰化高中

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引用:
原帖由 panda.xiong 於 2014-5-26 07:54 AM 發表
請問第9題的答案是不是:
S1 = (1/4)*sin(4q)
S2=sin(2q)
感覺好像太容易算出來,覺得怪怪的不是很確定.
對啦

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請問...第6題答案是(52/3)pi 嗎?
若不是,可否請教大家怎麼做呢?
謝謝^^

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引用:
原帖由 justine 於 2014-5-27 04:27 PM 發表
第6題答案是(52/3)pi 嗎?
對啦

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回復 23# thepiano 的帖子

喔耶~謝謝thepiano老師~^^

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請問第14、17題?

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回復 25# panda.xiong 的帖子

填14. 先來個不正常的解,先算一般式,再回推遞迴式

令 \( f(x) = \displaystyle \left( \frac{x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7}{7} \right)^n \times x^3 \)

則 \( P_n = \displaystyle \frac{f(1) + f(i) + f(-1) + f(-i)}{4} = \frac{7^n - (-1)^n }{4 \cdot 7^n} = \frac14 - \frac14 \cdot (\frac{-1}7)^n \)

故 \( \displaystyle P_{n+1} - \frac14 = -\frac17 \cdot (P_n - \frac14 ) \)

整理得 \( \displaystyle P_{n+1} = -\frac17 P_n + \frac{2}{7} \)

正常的遞迴式推法,只請下一位老師幫忙吧
網頁方程式編輯 imatheq

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回復 25# panda.xiong 的帖子

第14題:畫樹狀圖

當 \(S_n\equiv 1(mod4)\) 時,\(S_{n+1}\equiv 1(mod4)\) 之機率為 \(\displaystyle \frac{1}{7}\)  〈第 \(n+1\) 次必得抽到4〉

而無論 \(S_n\equiv 0,2\ or\ 3(mod4)\) 時,\(S_{n+1}\equiv 1(mod4)\) 之機率皆為 \(\displaystyle \frac{2}{7}\)

〈例如:當 \(S_n\equiv 0(mod4)\),則第 \(n+1\) 次必須抽到1或5〉

故 \(\displaystyle P_{n+1}=\frac{1}{7}P_n+\frac{2}{7}(1-P_n)=\frac{2}{7}-\frac{1}{7}P_n\)

第17題:

看作是 \((s,s)\) 與 \((-7+5|\cos t|,3|\sin t|)\) 兩點距離的平方

那就是觀察直線 \(y=x\) 與橢圓 \(\displaystyle \frac{(x+7)^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\) 的右上半之最短距離平方

從圖觀察,看起來最短距離就是發生在當 \(s=-1\), \(t=0\) 時

故所求最小值為2

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引用:
原帖由 tsusy 於 2014-5-28 01:27 PM 發表
填14. 先來個不正常的解,先算一般式,再回推遞迴式

令 \( f(x) = \displaystyle \left( \frac{x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7}{7} \right)^n \times x^3 \)

則 \( P_n = \displaystyle \frac{f(1) + f(i) + f(-1) + f(-i) ...
不懂f(x)是甚麼意思?麻煩可以解釋一下嗎?感恩....

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回復 28# panda.xiong 的帖子

將 \(\displaystyle \Big(\frac{x+x^2+\cdots+x^7}{7}\Big)^n\) 展開並且同類項合併後

各項中 \(x\)的指數代表這 \(n\) 次結果的數字和,而各項係數代表該數字和出現的機率  〈可以用 \(n=1,2,3,\cdots\) 的case逐一對照想像^^〉

題目中的 \(P_n\) 是數字和為 \(4k+1\), \(k\in Z\) 的機率,因此只要將指數為 \(4k+1\) 的那些項的係數求和即為 \(P_n\)

為了設法讓 \(4k+1\) 以外的項通通消失,只留下 \(4k+1\) 這些項的係數和

於是寸大設計了 \(f(x)=\Big(\displaystyle \frac{x+x^2+\cdots+x^7}{7}\Big)^n\times x^3\)

如此一來,\(\displaystyle \frac{f(1)+f(i)+f(-1)+f(-i)}{4}\) 的結果便是 \(P_n\)

〈若不乘上 \(x^3\) 這項,上式留下來的結果會是 \(4k\) 這些項的係數和〉

講得不精確的話,還請tsusy大指正!

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答案彙整

1.  \( 45 \)
2.  \( \sqrt{5} \)
3.  \( 3961 \)
4.  \( 5 \)
5.  \( \frac{8-\sqrt{3}}{10} \)
6.  \( \frac{52}{3}\pi  \)
7.  \( \frac{a+b+c}{2} \)
8.  \( \left ( \frac{2}{\sqrt{3}}\left ({log_{2}}^{3}-1  \right ),-\frac{3}{2}{log_{2}}^{3}+2 \right ) \)
9.  \( \left\{\begin{matrix}
s_{1}=\frac{1}{4}sin4\theta \\
s_{2}=sin2\theta
\end{matrix}\right. \)
10.  \( a< 0 \)
11.  \( \left\{\begin{matrix}
x=3+2t\quad\qquad\\
y=4+3t\quad t\in \mathbb{R}\\
z=7+4t\quad\qquad
\end{matrix}\right. \)
12.  \( 364 \)
13.  \( 8003 \)
14.  \( P_{n+1}=-\frac{1}{7}P_{n}+\frac{2}{7} \)
15.  \( 19\frac{13}{25} \)
16.  \( -61 \)
17.  \( 2 \)
18.  \( 6ab+\frac{3\sqrt{3}}{2}\left (a^{2}+b^{2}  \right ) \)

如有錯誤請告知

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