謝謝瑋岳老師的解說

也謝謝idontnow90老師
還有前面lyingheart、tuhunger老師的回覆

可以搞懂這題真是太開心了！

引用:

原帖由 drexler5422 於 2013-5-26 02:13 AM 發表
有沒有比較一般的做法???
希望各路高手分享一下~~~

設邊長為a的正七邊形的對角線中，最長為x，最短為y，試證：\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a} \)。

計算4 和朋友討論的結果，兩種方法，出發點一樣，參考看看~

設點\(A,B,C,D\)為一正多邊形之連續相鄰的四個頂點，且滿足\(\displaystyle \frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}}\)。試問此正多邊形之邊數為多少？


煩請有空的大大幫忙解答，謝謝！

正七邊形，去年全國聯招考過

引用:

原帖由 sherlock 於 2014-2-27 11:53 AM 發表

qq.jpg (18.54 KB)

2014-2-28 10:49

煩請有空的大大幫忙解答，謝謝！

設此正多邊形為 \(n\) 邊形，且外接圓半徑為 \(R\)，

則 \(\displaystyle \overline{AB}=2R\sin\frac{\pi}{n},\overline{AC}=2R\sin\frac{2\pi}{n},\overline{AD}=2R\sin\frac{3\pi}{n}\)

由題意可知，\(\displaystyle \frac{1}{2R\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{1}{2R\sin\frac{2\pi}{n}}+\frac{1}{2R\sin\frac{3\pi}{n}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{2\pi}{n}\cdot\left(\sin\frac{3\pi}{n}-\sin\frac{\pi}{n}\right)=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{2\pi}{n}\cdot\left(2\cos\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{\pi}{n}\right)=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{n}\cdot\left(2\cos\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{2\pi}{n}\right)=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{4\pi}{n}=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

因為 \(\displaystyle \sin\frac{\pi}{n}\neq0\)

所以 \(\displaystyle \sin\frac{4\pi}{n}=\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{4\pi}{n}+\frac{3\pi}{n}=\pi\)

\(\Rightarrow n=7\)

設 E 是繼 A、B、C、D 後的下一個頂點

令 AB = a，AC = x，AD = y，AE = z
1/a = 1/x + 1/y
xy = ay + ax
xy - ax = ay

在四邊形 ACDE 中，由托勒密定理
AC * DE + CD * AE = AD * CE
ax + az = xy
z = (xy - ax)/a = ay/a = y

AE = AD，故所求為正七邊形

請問老師 二、複選題 9 的 (C)、(D) 選項。謝謝。

第9題
甲、乙、丙三人組隊參加校外的數學競賽，題目共分為三類：
(1)團體賽：共10題，每題4分，三人同作一份試卷，但須分配作答，不能討論。
(2)接力題：由三人接力作答，前一人答對，後面一個人才能作答，三人皆答對才給36分。
(3)討論題：三人同解一個困難題，答對給24分。
已知甲、乙、丙的答對率分別為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)、\(\displaystyle \frac{2}{3}\)、\(\displaystyle \frac{1}{2}\)，則下列敍述何者正確？
(A)團體賽中若甲分配4題，乙分配3題，丙分配3題，則得分的期望值為36分
(B)接力賽時得分高低與選手順序無關
(C)討論題此三人得分的期望值為18分
(D)若討論題解對，則此題由甲獨立解出的機率為\(\displaystyle \frac{3}{23}\)
[解答]
(C) 三人都答錯的機率是\(\displaystyle \frac{1}{24}\)，所以答對的機率是\(\displaystyle \frac{23}{24}\)，得分的期望值是23分
(D) \(\displaystyle \frac{\frac{3}{4}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}{\frac{23}{24}}\)

轉貼學測詳解單選1
C=2 F(0,2)
AF+(-2-(-6))=4/5+4=24/5.......(D)

單選7.
將桌上一長方形\(ABCD\)沿著對角線\(\overline{AC}\)摺起，使平面\(ABC\)與平面\(ACD\)互相垂直，已知\(\overline{AB}=\sqrt{7}\)，\(\overline{BC}=\sqrt{2}\)，則空間中\(\overline{BD}\)長為(A)\(\displaystyle \frac{\sqrt{18}}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{\sqrt{28}}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{\sqrt{53}}{3}\)　(D)\(\displaystyle \frac{\sqrt{45}}{3}\)
[解答]
先A4紙沿對角線折做DE垂直AC垂直BF
BF=DE之後連續用畢氏定理和面積求高
AC=3
BF=√14/3
AE=CF=2/3
EF=5/3
BE=√39/3
BD=√53/3..........(C)