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102全國聯招

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回復 33# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師的解說

也謝謝idontnow90老師
還有前面lyingheart、tuhunger老師的回覆

可以搞懂這題真是太開心了!

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引用:
原帖由 drexler5422 於 2013-5-26 02:13 AM 發表
有沒有比較一般的做法???
希望各路高手分享一下~~~
計算4 和朋友討論的結果,兩種方法,出發點一樣,參考看看~

[ 本帖最後由 airfish37 於 2013-6-22 01:24 PM 編輯 ]

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正七邊形1.jpg (47.97 KB)

2013-6-22 13:21

正七邊形1.jpg

正七邊形2.jpg (51.36 KB)

2013-6-22 13:22

正七邊形2.jpg

上善若水

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請教一題平面圖形



煩請有空的大大幫忙解答,謝謝!

[ 本帖最後由 sherlock 於 2014-2-27 11:59 AM 編輯 ]

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正七邊形,去年全國聯招考過

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-2-27 12:20 PM 編輯 ]

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回復 44# sherlock 的帖子

引用:
原帖由 sherlock 於 2014-2-27 11:53 AM 發表


煩請有空的大大幫忙解答,謝謝!
設此正多邊形為 \(n\) 邊形,且外接圓半徑為 \(R\),

則 \(\displaystyle \overline{AB}=2R\sin\frac{\pi}{n},\overline{AC}=2R\sin\frac{2\pi}{n},\overline{AD}=2R\sin\frac{3\pi}{n}\)

由題意可知,\(\displaystyle \frac{1}{2R\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{1}{2R\sin\frac{2\pi}{n}}+\frac{1}{2R\sin\frac{3\pi}{n}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{2\pi}{n}\cdot\left(\sin\frac{3\pi}{n}-\sin\frac{\pi}{n}\right)=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{2\pi}{n}\cdot\left(2\cos\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{\pi}{n}\right)=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{n}\cdot\left(2\cos\frac{2\pi}{n}\cdot\sin\frac{2\pi}{n}\right)=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{4\pi}{n}=\sin\frac{\pi}{n}\cdot\sin\frac{3\pi}{n}\)

因為 \(\displaystyle \sin\frac{\pi}{n}\neq0\)

所以 \(\displaystyle \sin\frac{4\pi}{n}=\sin\frac{3\pi}{n}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{4\pi}{n}+\frac{3\pi}{n}=\pi\)

\(\Rightarrow n=7\)

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設 E 是繼 A、B、C、D 後的下一個頂點

令 AB = a,AC = x,AD = y,AE = z
1/a = 1/x + 1/y
xy = ay + ax
xy - ax = ay

在四邊形 ACDE 中,由托勒密定理
AC * DE + CD * AE = AD * CE
ax + az = xy
z = (xy - ax)/a = ay/a = y

AE = AD,故所求為正七邊形

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請問老師 二、複選題 9 的 (C)、(D) 選項。謝謝。

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回復 47# martinofncku 的帖子

第9題
(C) 三人都答錯的機率是\(\frac{1}{24}\),所以答對的機率是\(\frac{23}{24}\),得分的期望值是23分
(D) \(\frac{\frac{3}{4}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}{\frac{23}{24}}\)

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