引用:

原帖由 tsusy 於 2013-5-16 10:26 AM 發表
Jordan Canonical Form

另解. \( p_A(x) = x^2 + 8x +16 \)

考慮 \( r(x) \) 為 \( x^n \) 除以 \( p_A(x) \) 之餘式。

則有 \( r(-4) = (-4)^n, r'(-4) = n\times (-4)^{n-1} \)

以此二式解出 \( r(x) = ax+b \) ...

謝謝寸絲大大的另解
這方法是不是只能用在二階方陣且特徵值是重根的情況下？
還是有別的情形也可使用？

原題目矩陣P的第一行行向量是\(A\)的特徵向量不難得知
但第二行行向量也是\(A\)的特徵向量吧，不知從何而來...
自己的線性代數一直不太好...

方法沒有限定 2 階，也沒限定重根，但是也是有一些可能的限制在

方法：是找出一個 \( A \) 的零多項式，通常用特徵多項式 \( p_A(x) \)

然後由除法原理有  \( x^n = p_A(x) q(x) + r(x) \)

當然不可能真的去做長除法，而是要透過類似餘式定理的方式，或者 \( p_A(x) \) 有特殊結構，才能快速的求出 \( r(x) \)。

例如： \( p_A(x) \) 如果是一個二次式，且 \( p_A(x) = 0 \) 之解是兩個無理解，那就透過餘式定理解 \( r(x) \)，只是係數有點醜。

一般的情況下，除非 \( p_A(x) \) 可以解分成一些簡單(如整係數)的一次式和二次式的乘積。

否則一旦碰上，沒有有理根的三次式，要計算 \( r(x) \) 可能就是一件困難的事了

不過如果真的這樣，要對角化還是算 Jordan Canonical Form 應該也是很難算才是。

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\( u \) 是特徵值 \( \lambda \) 所對應的特徵向量，再去解 \( (A-\lambda I)x= u \) (二階的可以這樣做)

特徵值的重數如果 \( >2 \) ,上面的方法就可能失效

有興趣自個 Google Jordan Canonical Form 去吧

想請教填充2和問答3，謝謝！

填充第 2 題：

\(\displaystyle \log\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\log2\approx\frac{1.4142}{2}\times0.3010\approx0.2128\approx\log1.63\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^\sqrt{2}\approx1.63\)

\(\displaystyle \Rightarrow \log\left(\sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\right)=\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\log2\approx1.63\times0.5\times0.3010\approx0.2453\approx\log1.75\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\approx1.75\)

小數點以後第二位四捨五入，可得

\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\approx1.8\)

問答題第 3 題：

丙學生的算法是錯誤的，

因為第一個算幾不等式等號成立的條件是 \(\displaystyle a=\frac{1}{b}\Rightarrow ab=1\)

而第二個算幾不等式等號成立的條件是 \(\displaystyle 3b=\frac{1}{3a}\Rightarrow 9ab=1\)

顯然兩者不會同時成立，

丙學生找出來的是"下界"，而非最小值。

最小值需要確保"等號"會成立才行。

而正確的算法可以透過如下，使用柯西不等式：

\(\displaystyle \left(\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\right)\left(\left(\frac{1}{\sqrt{3a}}\right)^2+\left(\sqrt{3b}\right)^2\right)\geq\left(\sqrt{a}\cdot\frac{1}{\sqrt{3a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\cdot\sqrt{3b}\right)^2\)

可得 \(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)\geq\frac{16}{3}\)

且上述柯西不等式等號成立的條件為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\frac{1}{\sqrt{3a}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{b}}}{\sqrt{3b}}\) ，即 \(3a=b\)

帶入 \(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)=\frac{16}{3}\)

可解得 \(\displaystyle a=\frac{1}{3}, b=1\)（依題意，\(a,b\) 為正數）

因此，\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)\) 之最小值為 \(\displaystyle\frac{16}{3}\)

註：在求不等式的最大或最小值時，只要有用超過一個以上的不等式串接時，

　　就要檢查是否所有不等式的等號是否有可能同時成立，

　　如果可以同時成立，那找出來的下界才會是最小值。

謝謝瑋岳老師！問答題我也是用柯西但是無法解釋算幾為何不成立。豁然開朗了感恩