引用:

原帖由 tsusy 於 2013-5-16 10:26 AM 發表
Jordan Canonical Form

另解. pA(x)=x2+8x+16

考慮 r(x) 為 xn 除以 pA(x) 之餘式。

則有 r(−4)=(−4)nr(−4)=n(−4)n−1

以此二式解出 r(x)=ax+b ...

謝謝寸絲大大的另解
這方法是不是只能用在二階方陣且特徵值是重根的情況下？
還是有別的情形也可使用？

原題目矩陣P的第一行行向量是A的特徵向量不難得知
但第二行行向量也是A的特徵向量吧，不知從何而來...
自己的線性代數一直不太好...

方法沒有限定 2 階，也沒限定重根，但是也是有一些可能的限制在

方法：是找出一個 A 的零多項式，通常用特徵多項式 pA(x)

然後由除法原理有  xn=pA(x)q(x)+r(x)

當然不可能真的去做長除法，而是要透過類似餘式定理的方式，或者 pA(x) 有特殊結構，才能快速的求出 r(x)。

例如： pA(x) 如果是一個二次式，且 pA(x)=0 之解是兩個無理解，那就透過餘式定理解 r(x)，只是係數有點醜。

一般的情況下，除非 pA(x) 可以解分成一些簡單(如整係數)的一次式和二次式的乘積。

否則一旦碰上，沒有有理根的三次式，要計算 r(x) 可能就是一件困難的事了

不過如果真的這樣，要對角化還是算 Jordan Canonical Form 應該也是很難算才是。

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u 是特徵值 所對應的特徵向量，再去解 (A−I)x=u (二階的可以這樣做)

特徵值的重數如果 2 ,上面的方法就可能失效

有興趣自個 Google Jordan Canonical Form 去吧

想請教填充2和問答3，謝謝！

填充第 2 題：

log22=22log22141420301002128log163 

22163 

log222=2221log2163050301002453log175 

222175 

小數點以後第二位四捨五入，可得

22218 

問答題第 3 題：

丙學生的算法是錯誤的，

因為第一個算幾不等式等號成立的條件是 a=b1ab=1

而第二個算幾不等式等號成立的條件是 3b=13a9ab=1

顯然兩者不會同時成立，

丙學生找出來的是"下界"，而非最小值。

最小值需要確保"等號"會成立才行。

而正確的算法可以透過如下，使用柯西不等式：

a2+1b213a2+3b2a13a+1b3b2 

可得 a+b113a+3b316 

且上述柯西不等式等號成立的條件為 a13a=1b3b ，即 3a=b

帶入 a+b113a+3b=316 

可解得 a=31b=1（依題意，ab 為正數）

因此，a+b113a+3b  之最小值為 316

註：在求不等式的最大或最小值時，只要有用超過一個以上的不等式串接時，

　　就要檢查是否所有不等式的等號是否有可能同時成立，

　　如果可以同時成立，那找出來的下界才會是最小值。

謝謝瑋岳老師！問答題我也是用柯西但是無法解釋算幾為何不成立。豁然開朗了感恩