底數不是很漂亮

請問此題如何拆解?

謝謝

引用:

原帖由 WAYNE10000 於 2012-6-24 09:39 AM 發表
底數不是很漂亮

請問此題如何拆解?

謝謝

填充9.
不等式log14(x+3x+6x)log64x 之解集合為　　　。
[解答]
這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式<=>
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0<k^3+k^2+k<14 且0<k<2 (why? 請想一下)
才會符合不等式的解
解出0<k<2
所以0<x<64

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-6-24 10:24 AM 發表


這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0

Ellipse老師妳好

您這做法很漂亮

我剛想了一下
若直接用14與64為底
由圖形結構來看
不等式恆成立時
x>64, 好像也成立

不知我哪裡疏忽,或是我沒弄懂你上面所做的

打擾一下

謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2012-6-26 12:32 AM 編輯 ]

填充 9.
不等式log14(x+3x+6x)log64x 之解集合為　　　。
[解答]
這題之前也卡住了，樓樓上的橢圓兄似有妙招

來個比較笨的方法，磨它一下

令 x=k6t=log27，可化簡成 ln(1+k+k2)lnktk2+k+1−kt0 且 k0

f(k)=k2+k+1−ktf(0)=f(2)=0,

f(k)=2k+1−tkt−1f(0)=1, 注意 t=log272。

所以 f(k)   在 [0)，是有對像開口向下的拋物線，且與 x 軸有唯一交點 x=s。

f(x)0 on [0s), f(x)0 on (s)f 在 [0) 先遞增至 x=s 處，之後遞減。

又 f(0)=f(2)=0，所以 f(x)=+−x(02)x2 

因此，其解為 (02)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-25 11:20 AM 編輯 ]

第9題
不等式log14(x+3x+6x)log64x 之解集合為　　　。
[解答]
令 6x=k 
原式整理成  
log14(k+k2+k3)log2k
再假設  log2k=yk=2y
又可整理成
log14(2y+4y+8y)y
2y+4y+8y14y
(71)y+(72)y+(74)y1

當 y=1 時，71+72+74=1
所以當 y1 時，
(71)y+(72)y+(74)y71+72+74=1
當 y1 時，
(71)y+(72)y+(74)y71+72+74=1
所以解為 y1
即 0k2
0x64

引用:

原帖由 老王 於 2012-7-1 08:31 PM 發表
第9題
令 6x=k 
原式整理成  
log14(k+k2+k3)log2k
再假設  log2k=yk=2y
又可整理成...

感謝王老師提供這個解法

我也想知道
可以請橢圓老師講解詳細點嗎?
關於圖形,謝謝

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-6-24 10:24 AM 發表


這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0

1.請問ellipse老師，填充第9題要怎麼用圖形看呢？想了很久還是不知道。
2.請問計算題的2和3要怎麼證明呢？3之前有人貼解法，看不太懂。

引用:

原帖由 casanova 於 2012-12-6 10:19 PM 發表

1.請問ellipse老師，填充第9題要怎麼用圖形看呢？想了很久還是不知道。

(以下是thepiano老師的說明)

log(14，k^3 + k^2 + k) 和 log(2，k) 在 (2，1) 相交
所以在 0＜k＜2 和 k＞2 這兩個區間，兩者之間的大小關係必相反

k = 1
log(14，k^3 + k^2 + k) = log(14，3) ＞ 0
log(2，k) = 0

故 0 ＜ k ＜ 2，log(14，k^3 + k^2 + k) ＞ log(2，k)
k ＞ 2，log(14，k^3 + k^2 + k) ＜ log(2，k)

計算2.
△ABC中，D為BC上任一點，∠BAD=，∠CAD=，∠ACD=，∠ABD=，∠ADC=t，試證：sin(+)sin(+)=sinsin+sinsin。
[提示]
我辛苦地翻書終於找到出處，想知道是如何證明的請自行查閱。
張景中,曹培生，從數學教育到教育數學p115

102.3.28補充
張景中，平面三角解題新思路p59也有這題


計算3.
已知a0=1，且an=an−11+a2n−1，其中n為任意正整數。試證：an34n，nN。

ak+1=ak1+a2k34k1+34k2=1216k+9k1216k+1
＜處，需再證：(16k+9k)−(16k+1)0
使用基本微分，即可證明

我覺得這步會有問題ak1+a2k34k1+(34k)2，因為11+a2k11+(34k)2

我的方法是
1.先證明an0(自己試著證明看看)
2.數學歸納法
1a2n+1=(an+1an)2=a2n+2+1a2n2+916n916(n+1)
1an+134n+1 
因為前面有證明an為正數，所以開根號不會是負的
an+134n+1
(證明的過程等號不會成立)