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想請問填充9

底數不是很漂亮

請問此題如何拆解?

謝謝

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引用:
原帖由 WAYNE10000 於 2012-6-24 09:39 AM 發表
底數不是很漂亮

請問此題如何拆解?

謝謝
這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式<=>
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0<k^3+k^2+k<14 且0<k<2 (why? 請想一下)
才會符合不等式的解
解出0<k<2
所以0<x<64

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-6-24 10:24 AM 發表


這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0
Ellipse老師妳好

您這做法很漂亮

我剛想了一下
若直接用14與64為底
由圖形結構來看
不等式恆成立時
x>64, 好像也成立

不知我哪裡疏忽,或是我沒弄懂你上面所做的

打擾一下

謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2012-6-26 12:32 AM 編輯 ]

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回復 12# Ellipse 的帖子

填充 9. 這題之前也卡住了,樓樓上的橢圓兄似有妙招

來個比較笨的方法,磨它一下

令 \( x=k^{6}, t=\log_{2}7 \),可化簡成 \( \ln(1+k+k^{2})>\ln k^{t}\Leftrightarrow k^{2}+k+1-k^{t}>0 \) 且 \( k>0 \)

\( f(k)=k^{2}+k+1-k^{t}, f(0)=f(2)=0 \),

\( f'(k)=2k+1-tk^{t-1}, f'(0)=1 \), 注意 \( t=\log_{2}7>2 \)。

所以 \( f'(k)  \) 在 \( [0,\infty) \),是有對像開口向下的拋物線,且與 \( x \) 軸有唯一交點 \( x=s \)。

\( \Rightarrow f'(x)>0 \) on \( [0,s) \), \( f'(x)<0 \) on \( (s,\infty)\Rightarrow f \) 在 \( [0,\infty) \) 先遞增至 \( x=s \) 處,之後遞減。

又 \( f(0)=f(2)=0 \),所以 \( f(x)=\begin{cases}
+ & ,\, x\in(0,2)\\
- & ,\, x>2\end{cases} \)

因此,其解為 \( (0,2) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-25 11:20 AM 編輯 ]
文不成,武不就

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第9題
令 \(\displaystyle \sqrt[6]{x}=k \)
原式整理成  
\(\displaystyle \log_{14}(k+k^2+k^3) > \log_2 k \)
再假設  \(\displaystyle \log_2 k=y, \Rightarrow k=2^y \)
又可整理成
\(\displaystyle \log_{14}(2^y+4^y+8^y) > y \)
\(\displaystyle 2^y+4^y+8^y > 14^y \)
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > 1 \)

當 \( y=1 \) 時,\(\displaystyle \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7} = 1 \)
所以當 \(\displaystyle y > 1 \) 時,
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y < \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1 \)
當 \(\displaystyle y < 1 \) 時,
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1 \)
所以解為 \(\displaystyle y < 1 \)
即 \(\displaystyle 0 < k < 2 \)
\(\displaystyle 0 < x < 64 \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-7-1 08:33 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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引用:
原帖由 老王 於 2012-7-1 08:31 PM 發表
第9題
令 \(\displaystyle \sqrt[6]{x}=k \)
原式整理成  
\(\displaystyle \log_{14}(k+k^2+k^3) > \log_2 k \)
再假設  \(\displaystyle \log_2 k=y, \Rightarrow k=2^y \)
又可整理成...
感謝王老師提供這個解法

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回復 12# Ellipse 的帖子

我也想知道
可以請橢圓老師講解詳細點嗎?
關於圖形,謝謝

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2012-6-24 10:24 AM 發表


這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0
1.請問ellipse老師,填充第9題要怎麼用圖形看呢?想了很久還是不知道。
2.請問計算題的2和3要怎麼證明呢?3之前有人貼解法,看不太懂。

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引用:
原帖由 casanova 於 2012-12-6 10:19 PM 發表

1.請問ellipse老師,填充第9題要怎麼用圖形看呢?想了很久還是不知道。
(以下是thepiano老師的說明)

log(14,k^3 + k^2 + k) 和 log(2,k) 在 (2,1) 相交
所以在 0<k<2 和 k>2 這兩個區間,兩者之間的大小關係必相反

k = 1
log(14,k^3 + k^2 + k) = log(14,3) > 0
log(2,k) = 0

故 0 < k < 2,log(14,k^3 + k^2 + k) > log(2,k)
k > 2,log(14,k^3 + k^2 + k) < log(2,k)

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計算2.
△ABC中,D為\( \overline{BC} \)上任一點,\( ∠BAD=\alpha \),\( ∠CAD=\beta \),\( ∠ACD=\gamma \),\( ∠ABD=\delta \),\( ∠ADC=t \),試證:\( sin(\alpha+\beta)\cdot sin(\beta+\gamma)=sin \alpha \cdot sin \gamma+sin \beta \cdot sin \delta \)。
[提示]
我辛苦地翻書終於找到出處,想知道是如何證明的請自行查閱。
張景中,曹培生,從數學教育到教育數學p115

102.3.28補充
張景中,平面三角解題新思路p59也有這題


計算3.
已知\( a_0=1 \),且\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \),其中n為任意正整數。試證:\( \displaystyle a_n \le \frac{3}{4 \sqrt{n}} \),\( n \in N \)。

\( \displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}} \)
處,需再證:\( \displaystyle (16\sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}})-(16\sqrt{k+1})>0 \)
使用基本微分,即可證明

我覺得這步會有問題\( \displaystyle \frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2} \),因為\( \displaystyle \frac{1}{1+a_k^2}>\frac{1}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2} \)

我的方法是
1.先證明\( a_n>0 \)(自己試著證明看看)
2.數學歸納法
\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}^2}=(a_n+\frac{1}{a_n})^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}>2+\frac{16n}{9}>\frac{16(n+1)}{9} \)
\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}>\frac{4 \sqrt{n+1}}{3} \)
因為前面有證明\( a_n \)為正數,所以開根號不會是負的
\( \displaystyle a_{n+1}<\frac{3}{4 \sqrt{n+1}} \)
(證明的過程等號不會成立)

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