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101北市中正高中

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bugmen老師您的這段說明:計算第6

我在這本書找到這題的數學歸納法證明
夏興國,數學歸納法縱橫談



夏興國老師的文章中內容中 他有說到"優化假設"

我的看法是  當數學歸納法最後需要比較出x_1   x_n   x_n+1這個計算後的大小值時

如果假設這三數的大小順序(例如假設x_1 >  x_n >  x_n+1)   有可能造成不等式的不成立

所以我不懂為何他可以假設x_n+1為最大值

(還是我誤解他的說明??)


謝謝回答

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回復 41# rock 的帖子

這就像是平常寫證明的時候,從對稱性可以加入一些不失一般性的假設

\(x_1, x_2,x_3,\ldots, x_{n+1} \) 如果最大的是 \( x_5 \) 重新排序

\( x_6, x_7, x_8,\ldots, x_{n+1}, x_1, x_2, \ldots, x_5 \) 重新命名為 \( y_1, y_2, \ldots, y_{n+1} \)

那麼 \( y_{n+1} \) 就是最大的啦

而對 \({x_i}\), \( {y_i} \) 來說,不等式的兩邊值是相同的

故僅須對 \( {y_i} \) 去證明原命題
網頁方程式編輯 imatheq

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我欠缺的就是這個解釋    非常清楚    太感謝了!

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回復 31# redik 的帖子

計算4
只看到答案, 沒看到過程, 所以我來補過程:
f(x)是偶函數, 所以y=f(x)的圖形通過(1,f(1)), (-1,f(1)), (2,f(2))三點
由lagrange插值公式即可得到一多項式
最後整理後即可得到 P1(x)和P2(x)

ps 由f(1)=a-c和f(2)=4a-c很容易得到答案
但因為題目要求用lagrange插值公式
所以我猜應該要這麼寫(其實我原本的式子更醜, 我原本第三個點是用( sqrt(c/a) , 0 )   QQ

)

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計算題

1. A (3,1,2) 為空間中一點,P、Q 為 xy 平面上以原點 O 為圓心且半徑為 2 的圓之直徑兩端點,試計算下列問題:

(1) 內積 AP.AQ =?

(2) cos∠PAQ 的最大值與最小值。

(3) cos∠PAQ 為最小值時,ΔPAQ 的面積為何?


解:

(1) 所求 = AO² - r² = 14 - 4 = 10

(2)(3) 雖然題意暗示用內積,但亦可利用幾何性質來解。

平面上給定一線段 PQ (中點為 O),滿足∠PAQ 為定值 [範圍: (0, 180°)] 的動點 A,其構成對稱於 PQ 的兩圓弧。再思考當∠PAQ 變化時,兩圓弧的動態變化。依此考慮 AO 為定值時,∠PAQ 之值,可得如下結論:

1. 若 AO > PO ("A 在圓外"),則 AO 與 PQ 夾角 (取直角或銳角) 愈大,∠PAQ 愈大

2. 若 AO < PO ("A 在圓內"),則 AO 與 PQ 夾角 (取直角或銳角) 愈大,∠PAQ 愈小

3. 若 AO = PO ("A 在圓上"),則 ∠PAQ = 定值 (90°)

把以上結論應用於本題的 A, P, Q 所在平面 (屬於第 1 種情形):

cos∠PAQ 最小 (∠PAQ 最大) 時,AO 垂直 PQ。

cos∠PAQ 最大 (∠PAQ 最小) 時,即把前述 PQ 旋轉 90° 時 (考慮 AP 長與∠AOP 關係即知),且在此 A, P, Q 所在平面垂直 xy 平面 (若不易體會,可用三垂線定理證之)。

參考圖示h ttp://imgur.com/W0WPdrF


cos∠PAQ 的最大值: 如上圖左,tan∠PAQ = 4/5 (差角公式) ⇒ cos∠PAQ = 5/√41

cos∠PAQ 的最小值: 如上圖右,tan(∠PAQ/2) = 2/√14 ⇒ cos∠PAQ = 5/9,此時 aΔPAQ =  2√14

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