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101北市中正高中
rock
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發表於 2013-3-25 10:44
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bugmen老師您的這段說明:計算第6
我在這本書找到這題的數學歸納法證明
夏興國,數學歸納法縱橫談
夏興國老師的文章中內容中 他有說到"優化假設"
我的看法是 當數學歸納法最後需要比較出x_1 x_n x_n+1這個計算後的大小值時
如果假設這三數的大小順序(例如假設x_1 > x_n > x_n+1) 有可能造成不等式的不成立
所以我不懂為何他可以假設x_n+1為最大值
(還是我誤解他的說明??)
謝謝回答
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tsusy
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發表於 2013-3-25 14:16
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回復 41# rock 的帖子
這就像是平常寫證明的時候,從對稱性可以加入一些不失一般性的假設
x
1
x
2
x
3
x
n
+1
如果最大的是
x
5
重新排序
x
6
x
7
x
8
x
n
+1
x
1
x
2
x
5
重新命名為
y
1
y
2
y
n
+1
那麼
y
n
+1
就是最大的啦
而對
x
i
,
y
i
來說,不等式的兩邊值是相同的
故僅須對
y
i
去證明原命題
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imatheq
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rock
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發表於 2013-3-26 10:49
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我欠缺的就是這個解釋 非常清楚 太感謝了!
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阿吉
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發表於 2013-5-25 05:47
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回復 31# redik 的帖子
計算4
只看到答案, 沒看到過程, 所以我來補過程:
f(x)
是偶函數, 所以y=f(x)的圖形通過(1,f(1)), (-1,f(1)), (2,f(2))三點
由lagrange插值公式即可得到一多項式
最後整理後即可得到 P
1
(x)和P
2
(x)
ps 由f(1)=a-c和f(2)=4a-c很容易得到答案
但因為題目要求用lagrange插值公式
所以我猜應該要這麼寫(其實我原本的式子更醜, 我原本第三個點是用( sqrt(c/a) , 0 ) QQ
)
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cefepime
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發表於 2016-9-29 23:38
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計算題
1. A (3,1,2) 為空間中一點,P、Q 為 xy 平面上以原點 O 為圓心且半徑為 2 的圓之直徑兩端點,試計算下列問題:
(1) 內積 AP.AQ =?
(2) cos∠PAQ 的最大值與最小值。
(3) cos∠PAQ 為最小值時,ΔPAQ 的面積為何?
解:
(1) 所求 = AO² - r² = 14 - 4 =
10
(2)(3) 雖然題意暗示用內積,但亦可利用幾何性質來解。
平面上給定一線段 PQ (中點為 O),滿足∠PAQ 為定值 [範圍: (0, 180°)] 的動點 A,其構成對稱於 PQ 的兩圓弧。再思考當∠PAQ 變化時,兩圓弧的動態變化。依此考慮 AO 為定值時,∠PAQ 之值,可得如下結論:
1. 若 AO > PO ("A 在圓外"),則 AO 與 PQ 夾角 (取直角或銳角) 愈大,∠PAQ 愈大
2. 若 AO < PO ("A 在圓內"),則 AO 與 PQ 夾角 (取直角或銳角) 愈大,∠PAQ 愈小
3. 若 AO = PO ("A 在圓上"),則 ∠PAQ = 定值 (90°)
把以上結論應用於本題的 A, P, Q 所在平面 (屬於第 1 種情形):
cos∠PAQ 最小 (∠PAQ 最大) 時,AO 垂直 PQ。
cos∠PAQ 最大 (∠PAQ 最小) 時,即把前述 PQ 旋轉 90° 時 (考慮 AP 長與∠AOP 關係即知),且在此 A, P, Q 所在平面垂直 xy 平面 (若不易體會,可用三垂線定理證之)。
參考圖示h ttp://imgur.com/W0WPdrF
101中正高中.png
(5.25 KB)
2016-9-30 03:37
cos∠PAQ 的最大值: 如上圖左,tan∠PAQ = 4/5 (差角公式) ⇒ cos∠PAQ =
5/√41
cos∠PAQ 的最小值: 如上圖右,tan(∠PAQ/2) = 2/√14 ⇒ cos∠PAQ =
5/9
,此時 aΔPAQ =
2√14
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