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3.
設數列\( a_1=1,a_2=3 \)，\( \forall n \in N \)都有\( a_n a_{n+1} \ne 2 \)，且\( a_n a_{n+1}a_{n+2}=2(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}) \)，\( \displaystyle \sum_{n=1}^{100}a_n= \)？
[提示]
\( a_{n+1} a_{n+2}a_{n+3}=2(a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}) \)
\( a_n a_{n+1}a_{n+2}=2(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}) \)
兩式相減得
\( a_{n+1}a_{n+2}(a_{n+3}-a_n)=2(a_{n+3}-a_n) \)
\( (a_{n+1}a_{n+2}-2)(a_{n+3}-a_n)=0 \)
∵\( a_{n+1}a_{n+2} \ne 2 \)
∴\( a_{n+3}=a_n \)
數列\( \{\; a_n \}\; \)中，已知\( a_1=2 \)，\( a_{n+1}>a_n \)，且\( a_{n+1}^2+a_n^2+4=2a_{n+1}a_n+4a_{n+1}+4a_n \)，則一般項\( a_n= \)？
(98師大附中，
https://math.pro/db/thread-735-1-1.html)
7.
若\( g(x)=8x^3-4x^2-4x+3 \)，求\( \displaystyle g(sin \frac{\pi}{14}) \)的值？
[解答]
令\( \displaystyle \theta=\frac{\pi}{14} \)，\( 7 \theta=\frac{\pi}{2} \)，\( 4 \theta=\frac{\pi}{2}-3 \theta \)，\( sin(4 \theta)=sin(\frac{\pi}{2}-3 \theta) \)
\( 2 sin(2 \theta)cos(2 \theta)=cos(3 \theta) \)，
\( 2 \cdot 2 sin \theta cos \theta(1-2 sin^2 \theta)=4 cos^3 \theta-3 cos \theta \)
\( 4 sin \theta(1-2 sin^2 \theta)=4 cos^2 \theta-3 \)
\( 8sin^3 \theta-4 sin^2 \theta-4 sin \theta+3=2 \)
計算題1.
設\( a_1=10 \)，\( \displaystyle \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1 a_2 a_3 ... a_{n-1}+1} \)，\( n \ge 2 \)。\( \forall n \in N \)，\( \displaystyle \sum_{n=1}^k \frac{1}{a_n}<A \)恆成立。求A的最小值？
設有一實數列\( \{\; a_n \}\; \)，且\( a_1=1 \)，\( a_{n+1}=1+a_1 a_2 ... a_n \)( \( n=1,2,3,... \) )試求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}= \)？
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=19134
2.
求出所有正整數n使得\( 4^n+n^4 \)為質數
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840
證明題1.
投擲均勻銅板\( 2n \)次，至少出現n次正面的機率為\( \displaystyle \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2n+1} \times C_n^{2n} \)
擲一公正骰子200次，至少出現100次正面的機率為\( a+(\frac{1}{2})^k C_{100}^{200} \)，則數對\( (a,k)= \)？
(99彰化女中，
https://math.pro/db/thread-948-1-1.html)
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本帖最後由 bugmens 於 2012-6-3 12:03 AM 編輯 ]
