設a, b為二正整數，已知它們的最小公倍數為2^6 x3^2x11^2 x13 ，則這樣的正整數對(a, b)共有多少組
ANS:975組

這一題今天清水高中居然考出來了...有人可以分享嗎?  我的想法是錯滴><

我想法是a,b至少一個是2^6,另外一個可以2^(0~6)  :2x6=12種
               a,b至少一個是3^2,另外一個可以3^(0~2)  :2x3=6種
依此類推...但答案是錯了><

(a,b)=(2^6,1) or (2^6,2^1) or (2^6,2^2) or (2^6,2^3) or (2^6,2^4) or (2^6,2^5) or (2^6,2^6)
         (1,2^6) or (2^1,2^6) or (2^2,2^6) or (2^3,2^6) or (2^4,2^6) or (2^5,2^6)
     
         注意兩個6次方的只算一次，其他的可以交換共13組
         公式可以看成 (次方的兩倍+1)組

[ 本帖最後由 basess8 於 2012-6-7 12:26 AM 編輯 ]

想請教填充第13題,謝謝

填充第１３題，前面已經解了。

其實最小公倍數那題前面也解了………==

soory,最近忙著教師蒸屍,累到自己已有問過該題

更正
soory,最近忙著教師蒸屍,累到自己"忘了"已有問過該題

想再請教證明第2題,謝謝

計算 2.

若 \( n \) 正偶數，亦驗 \( 4^{n}+n^{4}>2 \) 且為偶數。故不為質數

注意 \( x^{4}+y^{4}=(x^{2}+\sqrt{2}xy+y^{2})(x^{2}-\sqrt{2}yx+y^{2}) \)

若 \( n \) 為正奇數，則有 \( 4^{n}+n^{4}=(\sqrt{2}^{n})^{4}+n^{4}=(2^{n}+n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2})(2^{n}-n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2}) \)

又 \( n \) 是正奇數，可得兩個括弧內皆為整數，而前者為正，相乘亦正，因此兩者皆正。

若其乘積為質數，其一必為 \(1 \)。

檢驗之可得僅當 \( n=1 \) 時， \( 2^{n}-n\cdot\sqrt{2}^{n+1}+n^{2}=1 \)， \( 4^{1}+1^{4}=5 為質數 \)。

(可用單調性說明，無其它解。而單調性是容易驗的性質)

因此正整數 \( n \) 有唯一解 \( n=1\) 。

想請教第15題填充怎麼做，小弟微積分不是很好

填充第 15 題：

令 \(\displaystyle f(x)=\int_4^x \frac{1}{2+t^2}dt\Rightarrow f\,'(x)=\frac{1}{2+x^2}\)

則 \(y=-f(1+3x^2)\)

\(\displaystyle y\,'=-f\,'(1+3x^2)\cdot(1+3x^2)'=-\frac{1}{2+(1+3x^2)^2}\cdot(6x)=\frac{-2x}{1+2x^2+3x^4}\)