回復 33# weiye 的帖子
先對 weiye 老師致上敬意
在下算得有一點小差異，一者是行列式展開
另一個是 weiye 老師的 \( x \) 極式不小心寫錯了
令 \( A=\left[\begin{array}{ccccccc}
x^{9} & x^{8} & x^{7} & \ldots & \ldots & \ldots & 1\\
1 & x^{9} & x^{8} & \ldots & \ldots & \ldots & x\\
x & 1 & \ddots & \ddots & \ldots & \ldots & \vdots\\
\vdots & \ldots & \ddots & \ddots & \ddots & \ldots & \vdots\\
\vdots & \ldots & \ldots & \ddots & \ddots & x^{8} & \vdots\\
x^{7} & \ldots & \ldots & \ldots & 1 & x^{9} & x^{8}\\
x^{8} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 1 & x^{9}
\end{array}\right] \) ,\( E_{1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & \ldots & \ldots & 0\\
-x & 1 & \ddots & \ldots & \vdots\\
0 & -x & \ddots & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0\\
0 & \ldots & 0 & -x & 1
\end{bmatrix} \), \( E_{1}A=\begin{bmatrix}x^{9} & x^{8} & \ldots & \ldots & 1\\
1-x^{10} & 0 & \ldots & \ldots & 0\\
0 & 1-x^{10} & \ddots & \ldots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0\\
0 & \ldots & 0 & 1-x^{10} & 0
\end{bmatrix} \)
又 \( \det E_{1}=1\) ，因此 \( \det A=\det(E_{1}A)=-(1-x^{10})^{9} \) 。
\( x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\Rightarrow x^{10}=-\frac{1+\sqrt{3}i}{2} \), \( 1-x=\frac{3+\sqrt{3}i}{2}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}+i}{2}=\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}) \)
因此 \( \det A=-(1-x^{10})^{9}=81\sqrt{3}i \)
算到這樣的感覺，要嘛是算錯了，要嘛是寸ㄟ題目記錯了
