第四題
亦可使用一階微分
f ' (x)=0
求出x 的值
但 計算較複雜

第六題,我想請問有沒有人有印象,題目是說每人投"兩票"還是投"兩人"?
如果是投兩票,是否可接受兩票皆投同一人?
雖然說這樣題目會變得很簡單...
H(3,80)
如果規定要投兩人的話,
相當於每人投你不想選的人
所以應該是H(3,40)
看你少拿了幾票

第二小題,可以只投一人
所以如果令x,y,z為三人少拿的票數
則40<=x+y+z<=80
且x,y,z<=40
可以解出來是H(4,80)-3*H(4,79)-H(4,39)

是兩人，而非兩票

我的敘述可能不太好，不知道哪位願意幫忙修一下

您的敘述沒有問題
我只是想確認一下
順便替我的分數哀號XDD

第六題第一小題如gonm所說為H(3,40)
但第二小題按你算式算出答案為負數,是否可以看成投票方法有(o,o,x),(o,x,o),(x,o,o),(o,x,x),(x,o,x),(x,x,o)共六種,投票總數為40張的重複組合,答案為H(6,40)
第三小題反向思考,投票方法為(o,o,x),(o,x,o),(x,o,o),有人得到不小於30各 x 的選票,其答案為
3 * H(3,10)=198...這樣的解法不知是否正確

6 (2) 這樣寫會有重覆
OOX 13*OXX 13*XOX 13*XXO 這組和 XOO 14*OXX 13XOX 12*XXO 總得票數都是 14,14,13

6 (3) 想法相同

等等再來想 6 (2)

感謝寸絲兄指點，我把後面寫法補完

第八題
將方程式同乘 \(x\) 則有\(C^{n}_{n-1}x^{n-1}+C^{n}_{n-2}x^{n-2}+...+C^{n}_{2}x^2+C^{n}_{1}x=0\)       (\(x=0\)) 不為根
再同補上 \(x^n+1\) 得 \(x^n+C^{n}_{n-1}x^{n-1}+C^{n}_{n-2}x^{n-2}+...+C^{n}_{2}x^2+C^{n}_{1}x+1=x^n+1\)
整理 \((x+1)^n=x^n+1\)
可令 \( g(x)=(x+1)^n-x^n-1 \)若 \( x=a \)為 \( f(x) \) 的重根，那 \( x=a \) 必為 \( g(x) \) 的重根
則有\( g(a)=g'(a)=0 \)

\(g(a)=(a+1)^{n}-a^{n}-1\)，\(g'(a)=n(a+1)^{n-1}-na^{n-1}\) 推得

1.\(g(a)-\frac{a}{n} g'(a)=(a+1)^{n-1}-1=0\)
2.\(g(a)-\frac{a+1}{n} g'(a)=a^{n-1}-1=0\)

所以\(a\)為\((x+1)^{n-1}=x^{n-1}=1\)的根，在複數平面上畫出\(|x+1| =| x|=1\)
找出交點代回 \( (\pm \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} = 1\)  或 \(  ( \pm \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} =1  \)

故6為\(n-1\)的因數




[ 本帖最後由 basess8 於 2012-5-23 11:38 PM 編輯 ]

前面的作法相同..

但後面的討論似乎有點問題： \( n \) 奇數是，實際上 \( x=-1 \) 有可能是單根

如 \( n=3 \) 方程式為 \( 3x+3 = 0\) 顯然是單根

應令 \( g(x) = xf(x) = (x+1)^n - x^n -1 \), 則有 \( g'(x) = n(x+1)^{n-1} + nx^{n-1} \)

0 不為 \( f(x) =0 \) 之根，因此 \( x=a \) 為 \( f(x) = 0 \) 之重根若且唯若 \( x=a \) 為 \( g(x) =0 \) 之重根

若且唯若 \( g(a)=g'(a) = 0 \)，若且唯若 \( 0 = g(a) - \frac an g'(a) = (a+1)^{n-1}-1 \) 且 \( 0 = g'(a) =n(a+1)^{n-1} - na^{n-1} \)

若且唯若 \( x=a \) 為 \( (x+1)^{n-1} =x^{n-1} =1 \) 的解。

在複數平面上畫兩圓 \( |x+1|=|x| =1 \) ，其交點為 \( x= -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt 3}{2} \)

因此，有重根若且為若 \( (\pm \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} = 1\) 或 \(  ( \pm \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3i}{2})^{n-1} =1  \)

即 \( 6 \mid n-1 \)

\(n = 1 \) 時，原方程式是  \( 0 = 0 \) 算不算重根丫？？？但不影響此題作答

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-23 01:30 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-20 12:43 PM 發表
lianger 是對的，小弟也算出同樣的 \( x \)

幾何解法，
取 \( (x-5)^2 + y^2 = 4^2 \) 的上半圓和 \( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓

兩半圓外切，而兩根號，可視為 半圓上的點至圓心的 \( y \) 分量，如圖  ...

請問tsusy老師

\( (x-34)^2 + (y-3 \sqrt{35})^2 = 30^2 \) 下半圓

怎麼從原式得到的

想了很久還是想不透

謝謝

因為過程被小弟抹掉了，不過這個構造有點不直覺，所以可不用太在意

比較好的方法，可以參考 #3 lianger 的做法

回到被抹掉的東西，一開始其實是畫兩個上半圓，圓心都在 \( x \) 軸

但是這樣 \( y \) 方向的兩線段會有疊在一起的部分，不利於幾何上解釋加法，於是把一個圓改成下半圓

這樣兩個線段就連起來變成一個線段了，在考場裡，寸絲也沒有想那個第二個下半圓的平移

而是採用微分的觀點發現，相求函數之微分，即兩半圓切線斜率相減，所以當切線斜相等時，即極點位置

小弟因此先做出 (2) ，後來再思考，才從切線斜率相同，想到相切，而且半圓可平移，線段不變

所以就它右邊的大半圓往上移動，直至與左邊小圓相切，那從畢氏定理算一算得圓心 \( y \) 坐標為 \( \sqrt{(4+30)^2-(34-5)^2} \)

以上，囉嗦了半天，沒什麼重點，勿怪