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101師大附中(含計算題)

回復 30# 阿光 的帖子

填充 6. 請看 100 桃園新進 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1149&page=1#pid3654

填充 3. 法 1. 可以令 \( F(x) = \int_0^x f(t)dt \), 然後可以去掉一個積分,再做變數代換 \( t = F(x),\, dt =f(x)dx \)

法 2. 或是函數、積分區域是對稱的,把它沿著 \( x=y \) 翻過去,兩塊加起再除 2 也可以

\( G(x,y)=f(x)f(y) \),這個函數相對於 \( x=y \) 是對稱...把三角形翻過去,兩塊加起是正方形
填充 4. 不知道您怎麼做...所以不知道問題有哪
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填充6.請教同事之後有一個方法,放上來跟大家分享一下
請參閱附件
101師大附中填充6.pdf (132.2 KB) ------------------------------------------
阿哩~突然發現我方向搞錯邊了
這樣變成順時鐘轉120度
請各位看官自行倒轉過來>"<
------------------------------------------
逆時鐘轉的我修正過來了,請看下面的附件
101師大附中填充6.pdf (159.79 KB)
衛生組長@師大附中

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小弟資質努鈍,填充第3題還是不太了解,
是否能請tsusy大師能解釋的更清楚一些
,謝謝

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引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-14 03:51 PM 發表
小弟眼拙,看不出計算 3 \( \leq \frac{1}{2} a_n \) 這個估計有何用處

而  \( a_n \to 1 \)  ,所以...??

小弟是當時做的時候,是去估計 \( a_{n+1}^2 - 1 \) 和 \( a_n^2 - 1 \) 的關係(差幾倍)

計算 5. 真是簡潔有力 ...
請問寸絲大大:

「另外,其實這題的本質應該是牛頓法解 \( x^2 - 1 =0 \)

   所以其中 \( a_{n+1} -1 = O((a_n -1 )^2) \) ,收斂超快的」

為什麼 \( a_{n+1} -1 = O((a_n -1 )^2) \) 呢?
又,怎麼看出收斂超快的呢?
沒大大那麼厲害,可以請您解說一下嗎?

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回復 34# casanova 的帖子

大大二字,在下可擔不起

牛頓法,應該不陌生吧...以前,即便是高三理組,也可能學過

大學的數值分析之類的課,基本上都會教到

至於證明,就是用 Taylor 定理,寫一寫而已,

不對...用 Taylor 定理算是殺雞牛刀,罪過罪過

這個迭代,比較基本 (Elementary) ,直接寫下來算一算就好了

\( a_{n+1}-1=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}-2)=\frac{1}{2}\frac{a_{n}^{2}-2a_{n}+1}{a_{n}}=\frac{1}{2}\frac{(a_{n}-1)^{2}}{a_{n}} \)

所以得 \( a_{n+1} =\frac{1}{2a_n} \cdot (a_n - 1)^2 \)

題外話,如果要的根是重根,或者說 \( f(a)=0 \) 且 \( f'(a) = 0 \) 其中 \( f(x)=0 \) 是欲解之方程式

牛頓法的收斂就會變慢,此時 \( a_{n+1} -1 = O(1-a_n) \), 當然這時候還是有辦法處理,有興趣就去翻數值分析之類的書或 Google 吧

註:其實,上面那些符號,應該掛一下絕對值比較好
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想再請教填充第3題和第1題有無較快的作法,謝謝

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回復 36# 阿光 的帖子



填充 1. 實際上那兩條不是歪斜線,而是相交於一點,由交點和 P 點即可以對稱比例式

填充 3. 不正當的作法:令 \( f(x) =k \)  常數函數,則得答案為 \( \frac{k^2}{2} \)

以上方法雖然快,但是只能說是取巧而已,遇到其它題目,大概就不行了。

不知道以上,是不是你想要的?
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謝謝tsusy,我終於看懂了

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放在抽屜裡有點久的東西
附檔是一些想法和略解

致於詳解...人有點懶,就算了

附件

101ntnu ans.pdf (450.36 KB)

2012-5-27 18:35, 下載次數: 9953

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引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-27 06:35 PM 發表
放在抽屜裡有點久的東西
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致於詳解...人有點懶,就算了
填充題第五題怎麼思考切入的。

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