3.
設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 4 \cr 3 & 2} \Bigg]\; \)，且X、Y均為二階方陣，滿足\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1}\Bigg]\; \)，\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \)，\( aX+bY=A \)，其中\( a>b \)，a、b為常數，則\( X^n= \)？
(91高雄女中指定科目模擬考(三)，RA531.pdf)
[解答]
(1)
\( \displaystyle \cases{aX+bY=A \cr X+Y=I} \)，得\( \displaystyle X=\frac{1}{a-b}(A-bI) \)，\( \displaystyle Y=\frac{1}{a-b}(aI-A) \)
又\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \)，得\( \displaystyle \frac{1}{(a-b)^2}(A-bI)(aI-A)=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
∵\( a-b>0 \) ∴\( (A-bI)(aI-A)=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)，
\( \Bigg[\; \matrix{1-b & 4 \cr 3 & 2-b} \Bigg]\; \Bigg[\; \matrix{a-1 & -4 \cr -3 & a-2} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
\( \Bigg[\; \matrix{a+b-13-ab & 4(a+b)-12 \cr 3(a+b)-9 & 2(a+b)-16-ab} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
\( \cases{a+b-13-ab=0 \cr 4(a+b)-12=0} \)，得\( (a,b)=(5,-2) \)或\( (-2,5) \)(不合)
(2)
將\( (a,b)=(5,-2) \)代入\( \displaystyle X=\frac{1}{a-b}(A-bI)=\frac{1}{a-b}\Bigg[\; \matrix{1-b & 4 \cr 3 & 2-b} \Bigg]\;=\frac{1}{7}\Bigg[\; \matrix{3 & 4 \cr 3 & 4} \Bigg]\; \)
又\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \Bigg]\; \)．兩邊同乘X，\( X^2+XY=X \)，得\( X^2=X \)，所以\( X^n=X=\Bigg[\; \matrix{\frac{3}{7} & \frac{4}{7} \cr \frac{3}{7} & \frac{4}{7}} \Bigg]\; \)
102.8.10補充文章
林倉億，從一題矩陣的試題談起
110.8.2補充
設\(A=\left[\matrix{1&-1\cr 2&4}\right]\)，且\(X\)，\(Y\)均為二階方陣，滿足\(X+Y=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，\(XY=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\)，若\(aX+bY=A\)，其中\(a>b\)，\(a,b\)為定值，試求
(1)數對\((a,b)=\)？
(2)\(X^{2021}-Y^{2021}=\)？
(110竹東高中，
https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html)
112.7.1補充
設\(A=\left[\matrix{2&4\cr 1&-1}\right]\)，二階方陣\(X\)、\(Y\)滿足\(X+Y=I\)且\(XY=O\)，其中\(I=\left[\matrix{1&0 \cr 0&1}\right]\)、\(O=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\)。若存在實數\(a>b\)使得\(A=aX+bY\)，則\(a^b\)之值為
。
(112嘉義女中，
https://math.pro/db/thread-3767-1-1.html)
6.
將\( (x-2y+3z-4u)^{40}-(x+2y-3z-4u)^{40} \)展開後並將同類項合併，則會有幾種不同類項？
將表示式\( (x+y+z)^{2006}+(x-y-z)^{2006} \)展開並合併同類項，試問化簡後共有多少項?
(A)6018 (B)671,676 (C)1,007,514 (D)1,008,016 (E)2,015,028
The expression \( (x+y+z)^{2006}+(x-y-z)^{2006} \)is simplified by expanding it and combining like terms. How many terms are in the simplified expression?
(A)6018 (B)671,676 (C)1,007,514 (D)1,008,016 (E)2,015,028
(2006AMC12，95和美高中，
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24)
113.5.26補充
將表示式\((x+y+z)^{2024}+(x-y-z)^{2024}\)展開並合併同類項，試問化簡後共有多少項
。
(113高雄市高中聯招，
https://math.pro/db/thread-3877-1-1.html)
112.7.25補充
將\((a-2b+3c-4d)^{20}-(a+2b-3c-4d)^{20}\)展開後合併整理，最後會有
種不同類項。
(112東石高中，
https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)
7.
\( [\; x ]\; \)表示不大於x的最大整數(高斯符號)，試求\( [\; (\sqrt{3}+1)^8 ]\;= \)？
若n是大於\( (\sqrt{5}+\sqrt{2})^6 \)的最小整數，試求n之值？
(100高師大附中代理，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1286&page=1#pid4841)
8.
\( x_i \)為整數且\( -1 \le x_i \le 2 \)，\( x_1+x_2+...+x_{2012}=19 \)，\( x_1^2+x_2^2+...+x_{2012}^2=219 \)，若\( x_1^3+x_2^3+...+x_{2012}^3 \)最大值為M，最小值為m，則數對\( (M,m) \)為何？
這裡還有相同類型的題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=980&page=1#pid2322
計算證明題
2.
z為複數，試解方程式\( (z+1+10i)(z+1+11i)(z+1+13i)=-3570i \)
設方程式\( z(z+i)(z+3i)=2002i \)有一根為\( a+bi \)，其中a,b皆表正實數，試求a之值為？
(A)\( \sqrt{118} \) (B)\( \sqrt{210} \) (C)\( 2\sqrt{210} \) (D)\( \sqrt{2002} \) (E)\( 100\sqrt{2} \)
(2002AMC12)
3.
設△ABC為任意三角形，以\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)、\( \overline{CA} \)各為一邊向外作一正三角形，分別為△ABD、△BCE、△CAF。證明：△ABD、△BCE、△CAF的重心\( G_1 \)、\( G_2 \)、\( G_3 \)形成的三角形為正三角形。
拿破崙定理，書上看過但不會想到要準備這題
