1.
計算\( \displaystyle \sum_{k=1}^{20}k^4 \)之值。
[解答]
\( f(0)=0 \)，\( f(1)=1 \)，\( f(2)=1^4+2^4=17 \)，\( f(3)=1^4+2^4+3^4=98 \)，\( f(4)=1^4+2^4+3^4+4^4=354 \)
\( f(5)=1^4+2^4+3^4+4^4+5^4=979 \)，\( f(6)=1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4=2275 \)
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
0 & & 1 & & 17 & & 98 & & 354 & & 979 & & 2275 \cr
& 1 & & 16 & & 81 & & 256 & & 625 & & 1296 & \cr
& & 15 & & 65 & & 175 & & 369 & & 671 & & \cr
& & & 50 & & 110 & & 194 & & 302 & \cr
& & & & 60 & & 84 & & 108 & & \cr
& & & & & 24 & & 24 & & & } \)
\( f(n)=0 \times C_0^n+1 \times C_1^n+15 \times C_2^n+50 \times C_3^n+60 \times C_4^n+24 \times C_5^n \)
5.
設\( x,y,z \in R \)，且\( x+y+z=2 \)，\( x^2-yz=4 \)，求\( xy+3yz+zx \)的最大值。
已知x、y、z為實數，且\( x+y+z=2 \)，\( 2x^2-yz=4 \)，若\( xy+yz+zx \)之最大值為M，最小值為m，求數對\( (M,m)= \)？
(100建國中學二招)
6.
△ABC，\( ∠C=90^o \)，\( \overline{AB} \)邊上的三等分點D,E，且\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \)，已知\( \overline{CD}=3 \)，\( \overline{CE}=4 \)，求\( \overline{AC} \)。
直角△ABC中，\( ∠C=90^o \)，\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \)。已知\( \overline{CD}=7 \)，\( \overline{CE}=9 \)，則\( \overline{DE}= \)？
(高中數學101 P129)
△ABE中，\( ∠BAE=90^o \)，C、D為邊\( \overline{BE} \)上的三等分點，令\( \overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=a \)，\( \overline{AC}=7 \)，\( \overline{AD}=9 \)，求a？
(99育成高中，
https://math.pro/db/redirect.php?tid=1094)
三角形ABC中，\( ∠C=90^o \)，D、E為\( \overline{AB} \)之三等分點，且\( \overline{CD}=sinX \)，\( \overline{CE}=cosX \)，\( 0^o<X<90^o \)，\( \overline{AB}= \)？
(97全國高中聯招)
7.
△ABC，若\( \vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}=\vec{0} \)，且\( \overline{PA}=3 \)，\( \overline{PB}=4 \)，\( \overline{PC}=5 \)，求△ABC的面積。
已知三角形三中線分別為10，12，14，則此三角形的面積為多少？
(A)\( 32 \sqrt{6} \) (B)\( 30 \sqrt{5} \) (C)\( 36 \sqrt{3} \) (D)\( 40 \sqrt{2} \)
(99南台灣國中聯招)
已知△ABC的三條中線長為7,8,9，則△ABC的面積？
(100高師大附中，
https://math.pro/db/thread-1286-1-1.html)
10.
在圓上任取12個點，兩兩相連所得的直線，最多將此圓內區域分割成為幾個區域。
11.
設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( a_1=2 \)且\( \displaystyle a_n=\frac{2a_{n-1}+1}{a_{n-1}+2} \)，\( \forall n \ge 2 \)，求一般項\( a_n \)(以n表示)。
這類題目還不會算嗎？趕快去數學傳播找那篇文章來看吧
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434
12.
若\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \)，當\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{sinx}}+\frac{2}{\sqrt{cosx}} \)有最小值時，求此時\( log_2(tanx) \)值。
若\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{sinx}}+\frac{32}{\sqrt{cosx}} \)的最小值？
(96台南女中，
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24076)
(我的教甄準備之路－廣義的科西不等式，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075)
13.
魯夫航行於A、B、C、D、E五座島嶼之間。每日清晨魯夫隨機前往任一其他島嶼並留宿該島的機率均為0.25。若第一天清晨魯夫從A島出發，設第n天晚上魯夫留宿於A島的機率為\( P_n \)。求滿足\( \displaystyle \Bigg\vert\; P_n-\frac{1}{5} \Bigg\vert\; \le 10^{-9} \)之最小n值。
一隻青蛙在ABCDE五點上跳動，每次落點異於跳點，假設從A出發，跳n次後仍回到A之跳法有\( a_n \)種，若\( a_n=k a_{n-1}+m a_{n-2} \) \( (n \ge 3) \)，k,m為常數，求數對\( (k,m)= \)？
(99台中一中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=2#pid2318)
14.
將n顆球，全部投入5個箱中，每球投入每箱的機率均為0.2，若已知空箱期望值小於0.1，求n最小值。
https://math.pro/db/thread-690-1-1.html
15.
正整數a,b,c滿足\( a \cdot b \cdot c=420 \)，考慮集合\( S=\{\;a,b,c \}\; \)，問集合S的所有可能有幾種。
感謝thepiano提供解答
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2786
設a,b,c為相異正整數,則滿足\( abc=2310 \)之集合S={a,b,c}有幾個？
For how many three-element sets of positive integers {a,b,c} is it true that abc=2310?
(A)32 (B)36 (C)40 (D)43 (E)45
(1995AMC12，高中數學101 P4，95台中家商，97家齊女中，113大直高中)
求\( xyz=360 \)有幾組整數解？
(99文華高中，
https://math.pro/db/thread-924-1-5.html)
18.
考慮正整數n的所有正整數分割，將其分割乘積的最大值定義為\( f(n) \)，
[例：\( 1+1+1+1=2+1+1=3+1=2+2=4 \)，
( \( 1 \times 1 \times 1 \times 1 \) )<( \( 2 \times 1 \times 1 \) )<( \( 3 \times 1 \) )<( \( 2 \times 2 \) )=(4)，
得\( f(4)=4 \)]。問\( f(2012) \)(以十進位表示)是幾位數。
將2008分解成一些正整數之和，使得這些正整數之乘積有最大值，求這最大值，並加以證明。
(97高中數學能力競賽台南區筆試一，
https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
20.
實係數多項式\( f(x) \)，若\( deg f(x)=2010 \)，且\( \displaystyle f(k)=\frac{2k+1}{k} \)，\( \forall k=1,2,3,...,2011 \)，求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{2011}\{\; C_k^{2012}\cdot (-1)^k \cdot f(k+1) \}\; \)值。
更多相同類型的題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108
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本帖最後由 bugmens 於 2012-6-30 10:26 PM 編輯 ]
