感謝joy大大  把它化成非負整數解變得好簡單

請問瑋岳老師，第10題中
f'(x)=h'(g(x))‧g'(x)再微一次變成f"(x)=h"(g(x))‧g'(x)+h'(x)‧g"(x)
這步為何不是變成f"(x)=h"(g(x))‧[g'(x)]^2+h'(x)‧g"(x)？？
h"(g(x))裡的g(x)不用再微一次嗎？？
感謝解惑~~~~~~~

要，是我筆誤了～：Ｐ

的確是要用 chain rule ～哈

還好 h(1)=0 所以沒有影響到答案，

馬上來修改～：Ｐ

6.試求30!的正因數個數?

因為30!=(2)^26*(3)^14*(5)^7
所以正因數個數為(26+1)*(14+1)*(7+1)=3240

答案公佈是2332800

原來我是漏了30以下的質因數,謝謝瑋岳老師.
新年快樂

8.
設f(x)=ax2+bx+c，(abcRa=0xR)，已知−1f(1)2,2f(2)4,−3f(3)4，令f(4)的最大值為M，最小值為m，則2M+m=　　　。

我怎麼算都算不出正解


12.
試求C021+21C121+31C221+41C321++122C2121=　　　。

我用積分算答案是11分之2的21次方，不知道盲點在哪

請教各位 先謝謝大家了!!

填充第 8 題：

偷懶一下，令 f(1)=xf(2)=yf(3)=z

由 x=a+b+cy=4a+2b+cz=9a+3b+c

可得 a=2x−2y+zb=−25x−8y+3zc=3x−3y+z

f(4)=162x−2y+z+4−25x−8y+3z+3x−3y+z=x−3y+3z 

已知 −1x2

因為 2y4，所以 −12−3y−6

因為 −3z4，所以 −93z12

由上三式可得 (−1)+(−12)+(−9)x−3y+3z2+(−6)+12−22f(4)8

所以，f(4) 的最大值 M=8，最小值 m=−222M+m=−6

註：有興趣的話，還可以解出當 f(4) 有最大值（或最小值）時，對應的 f(1)f(2)f(3) 及 abc 的值。

110.8.15補充
若二次實係數多項式函數f(x)滿足−1f(1)36f(2)102f(4)24，則f(7)的最大值？
(110竹東高中，https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html)

第 12 題

解一：

對任意 k=01221

1k+1Ck21=1k+121!k!(21−k)!=12222!(k+1)!(21−k)!=122C22k+1

因此，

所求＝\displaystyle \frac{1}{22}\left(C^{22}_1+C^{22}_2+C^{22}_3\cdots+C^{22}_{22}\right)

　　　\displaystyle =\frac{1}{22}\left(2^{22}-1\right)=\frac{4194303}{22}

註：2^{22}=2^{10}\cdot2^{10}\cdot4=1024\times1024\times4






解二：

因為 (1+x)^{21}=C^{21}_0+C^{21}_1x+C^{21}_2 x^2+\cdots+C^{21}_{21}x^{21}

等號的左右兩邊同時對 x 積分，

可得 \displaystyle \frac{1}{22}(1+x)^{22}=C^{21}_0x+\frac{1}{2}C^{21}_1x^2+\frac{1}{3}C^{21}_2 x^3+\cdots+\frac{1}{22}C^{21}_{21}x^{22}+k

其中 k 為常數，

將 x=0 帶入，可解得 \displaystyle k=\frac{1}{22}

因此，\displaystyle \frac{1}{22}(1+x)^{22}=C^{21}_0x+\frac{1}{2}C^{21}_1x^2+\frac{1}{3}C^{21}_2 x^3+\cdots+\frac{1}{22}C^{21}_{21}x^{22}+\frac{1}{22}

\displaystyle \Rightarrow C^{21}_0x+\frac{1}{2}C^{21}_1x^2+\frac{1}{3}C^{21}_2 x^3+\cdots+\frac{1}{22}C^{21}_{21}x^{22}=\frac{1}{22}\left(\left(1+x\right)^{22}-1\right)

將 x=1 帶入上式，即可得所求＝\displaystyle \frac{1}{22}\left(2^{22}-1\right)=\frac{4194303}{22}

110.8.15補充
求滿足\displaystyle C_0^n+\frac{1}{2}C_1^n+\ldots+\frac{1}{n+1}C_n^n=\frac{31}{n+1}的正整數n。
https://math.pro/db/thread-3224-1-1.html

設n為自然數，若\displaystyle C_0^n+\frac{1}{2}C_1^n+\frac{1}{3}C_2^n+\ldots+\frac{1}{n+1}C_n^n=\frac{4095}{n+1}，則n=　　　。
(110桃園高中，https://math.pro/db/thread-3512-1-1.html)

第9題:S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，從S中選出四個不同數字組成四位數，此四位數為99的倍數共有幾個??

我們學習11的倍數的判別法則都是奇數位和減去偶數位和，或甚至三位一節去做加減(同7,13的判別法)；
但是獨特的還有另外一種，就是很容易證明

\displaystyle \underline{abcd} \equiv \underline{ab}+\underline{cd}

於是我們只要兩位一節，然後相加即可。
用在本題，馬上可以知道必須是
\displaystyle \underline{ab}+\underline{cd}=99
以及
\displaystyle a+c=9,b+d=9
就可解出