題目和答案請見附件


以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 23分
2名代理教師，取10名參加複試
70,66,57,54,53,51,39,34,30,23

其他
20,19,2,缺考,缺考

共計15人

14.
從正立方體的8個頂點中選取3個作三角形，試問選到直角三角形的機率？

從一正立方體的8個頂點中任取三點可連成三角形，試問這些三角形中有幾個是正三角形？
https://math.pro/db/thread-602-1-1.html


15.
求函數\( f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \)，\( x \in R \)的值域？
(初中數學競賽教程P370)

Let \( f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \), show that \( -1<f(x)<1 \) for every \( x \in R \).
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=81479

Find all possible values of \( \sqrt{a^2+a+1}-\sqrt{a^2-a+1} \) where \( a \in R \).
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=232758

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-7-26 10:31 PM 編輯 ]

想請教填充第9，10，11，13題  謝謝

9. 集合S ＝｛1、2、3、4、5、6、7、8、9｝，從S中取出四個不同的數字做成一個四位數，此四位數為99的倍數共有_________個。

答 : 48

假設此四位數為abcd，且令A=a+c，B=b+d  (不妨先假設A>=B)

則A-B=11或0，A+B=18或27
解聯立之後會發現只有一種可能 : A=B=9
(其餘解有的太大，有的不是整數)

9 = 1+8 = 2+7 = 3+6 = 4+5
因而找出以下6種可能 :
1287, 1386, 1485, 2376, 2475, 3465

再考慮a,c互換，b,d互換，A,B互換
推得共 6*2*2*2 = 48  個。



13. 甲乙丙丁4位同學代表班上參加為期2日的運動會，比賽項目有「100公尺短跑」「跳遠」「跳高」「趣味競賽」「馬拉松」，每位同學每日參加一項目的比賽，且2日參賽項目都不相同，若第1日不舉辦「趣味競賽」，第2日不舉辦「100公尺短跑」，其他項比賽每日皆舉辦1次且皆派1人代表參加，則有____________種參賽方法。

答 : 264

假設比賽項目為A,B,C,D,E
第一天比 A,B,C,E，第二天比B,C,D,E

首先，第一天的比賽共有 4! 種參賽方法

為方便討論，假設第一天的A項目由甲參加

在第二天的時候，
case1.
若甲參加D項目，則乙丙丁又是參加B,C,E，所以是三封信的”錯排”，有2*1*1=2種方法

case2.
若甲不參加D項目 (還有3種可能B,C,E)，例如甲參加了B項目
則乙丙丁參加C,D,E，
必須再討論第一天參加B項目的人今天參加什麼項目 :
case2-a 參加D，則剩餘兩人只剩1種參賽方式
case2-b 參加C或E，則剩餘兩人也是只剩1種參賽方式

所以第二天有1*2+3*(1*1+2*1)=11 種。

故這兩天有4!*11=264 種參賽方法。

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-6 09:34 AM 編輯 ]

第 10 題：

設此四位數字的千百十個位數分別為 \(a,b,c,d\)，則

\(a+b+c+d=9*m\) 且 \((a+c)-(b+d)=11*n\)

其中 \(m,n\) 為整數

更甚者，可得

　　\(a+b+c+d=9, 18,\) 或 \(27\)

　　且

　　\((a+c)-(b+d)=-11,0,\) 或 \(11\)


以上兩者解聯立方程式求 \(a+c\) 與 \(b+d\)，

共 \(3*3=9\) 組聯立方程式中，

只有 \(a+c+d+d=18, (a+c)-(b+d)=0\) 會有合理的解，

解得 \((a+c, b+d)=(9,9)\)

又 \(9=1+8=2+7=3+6=4+5\)

所以，

\((a,b,c,d)\) 有序數組的可能解有 \(4*3*2!*2!=48\) 個。





出處：臺中一中99資優鑑定數學科實作測驗試題

　　　http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/math99/M-2.pdf

第 10 題

令 \(\displaystyle g(x)=\sqrt{x}, h(x)=\int_0^x \frac{t^2}{1+t^2+t^4}dt\)

則 \(f(x)=h(g(x))\)

\(\Rightarrow f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)\)

\(\Rightarrow f''(x)=h''(g(x))g'(x)\cdot g'(x)+h'(g(x))\cdot g''(x)\)

\(\Rightarrow f''(1)=h''(g(1))\cdot \left(g'(1)\right)^2+h'(g(1))g''(1)\)

（開始來找尋各個部分！）

\(\displaystyle g(x)=\sqrt{x}\Rightarrow g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow g''(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow g(1)=1, g'(1)=\frac{1}{2}, g''(1)=-\frac{1}{4}\)

而且，

\(\displaystyle h(x)=\int_0^x \frac{t^2}{1+t^2+t^4}dt \Rightarrow h'(x)=\frac{x^2}{1+x^2+x^4}\)

\(\displaystyle \Rightarrow h''(x)=\frac{2x^5-2x}{(1+x^2+x^4)^2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow h'(g(1))=h'(1)=\frac{1}{3}, h''(g(1))=h''(1)=0\)

故，所求＝\(\displaystyle 0\times\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{3}\times\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{12}.\)

第 11 題：

因為當 \(x\to4\) 時，分子分母都趨近於 \(0\)，

且 \(\displaystyle \lim_{x\to4} \frac{d}{dx}\left(x-4\right)=\lim_{x\to4} 1=1\)

且 \(\displaystyle \lim_{x\to4} \frac{d}{dx}\left(\int_4^x\frac{1}{t+\sqrt{t}}\right)=\lim_{x\to4}\frac{1}{x+\sqrt{x}}=\frac{1}{6}\)

所以，由 L'Hopital's Rule ，可得

所求＝\(\displaystyle \frac{\frac{1}{6}}{1}=\frac{1}{6}.\)

第9,10,11,13題,我都看懂了,非常感謝老師

5. 由1,2,3,.....,20挑出\(\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}\)三個數字, 且\(\displaystyle x_{1}\) <\(\displaystyle x_{2}\)<\(\displaystyle x_{3}\)
,求\(\displaystyle x_{1}與 x_{2}\)至少差3, \(\displaystyle x_{2}與 x_{3}\)至少差5的機率?

[ 本帖最後由 zero 於 2011-9-12 03:39 PM 編輯 ]

5. 由 1,2,3,.....,20 挑出 \(x_1,x_2,x_3\) 三個數字, 且 \(x_1 <x_2<x_3\),
求 \(x_1\) 與 \(x_2\) 至少差 3, \(x_2\) 與 \(x_3\) 至少差 5 的機率?  答: \(\displaystyle \frac{91}{285}\)

所有可能為 :  \(C^{20}_3\)

假設 \(x_1\) 之前有 \(a\) 個數字， \(x_1\) 與 \(x_2\) 之間有 \(b\) 個數字， \(x_2\) 與 \(x_3\) 之間有 \(c\) 個數字，\(x_3\) 之後有 \(d\) 個數字

則 \(a\geq0,b\geq2,c\geq4,d\geq0\)  且 \(a+b+c+d=17\)

因此題目要求的狀況  與  \(a+b'+c'+d=11\) 的非負整數解組數一樣多，為 \(C^{11+3}_3\)

故所求機率 = \(\displaystyle \frac{C^{14}_3}{C^{20}_3}=\frac{91}{285}\approx 0.318\)



使用 R 軟體模擬實驗，參考指令如下 :

n=10000
z=rep(0,n)
A=replicate(n,sample(1:20,3))
for(i in 1:n){
A[,i]=sort(A[,i])
if(A[3,i]-A[2,i]>=5 & A[2,i]-A[1,i]>=3) z[i]=1
}
sum(z)/n

詳見  https://math.pro/db/thread-51-1-1.html  的說明 !

[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-9-13 11:25 AM 編輯 [/i]]