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排列組合,正立方體的8個頂點中任取三點成Δ,有幾個正Δ?

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排列組合,正立方體的8個頂點中任取三點成Δ,有幾個正Δ?

請教解題
從一正立方體的8個頂點中任取三點可連成三角形,試問這些三角形中有幾個是正三角形?

為何我總是算出六個 但答案是八個啊

上面兩條對角線必找到兩個
前後兩條對角線必找到兩個
左右兩條對角線必找到兩個

懇請賜教

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設正立方體 ABCD-EFGH 的邊長為 1,

(我畫的圖是 ABCD 為上方正方形,且 EFGH 為下方正方形,且 E,F,G,H 四點分別在 A,B,C,D 四點正下方,)

則可以看得出來〝三角錐A-BDE〞的底面 ΔBDE 就是邊長為 √2 的正三角形,

 把這個三角錐的頂點移到 B, C, D, E, F, G, H 也都一樣會出現底面是以邊長為 √2 的正三角形。

所以目前找到 8 個。

那題目要求的正三角形的邊長有沒有其他種可能呢?

看一下圖形就會發現,

邊長為 1 ⇒ 找不到正三角形,

邊長為 √3 ⇒ 也找不到正三角形,

而單位正立方體的頂點間的距離也只有 1, √2, √3 這三種,

所以沒有其他的正三角形了。

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老師使用移動頂點的方法
簡單又好懂耶
謝謝您喔
晚安

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