請問填充第10與13怎麼做

填充第十用遞迴怎麼看規律

13.在正△內任取一點，向三邊做垂直線段，則此三垂直線段長可作為一△三邊長的機率為?

答 : \(\displaystyle \frac{1}{4}\)

令正△ABC內一點 \(P\) 至 \(\overline{AB}\) 的距離為 \(h_c\) ，至 \(\overline{BC}\) 的距離為 \(h_a\)，至 \(\overline{CA}\) 的距離為 \(h_b\)

則  \(h_a,h_b,h_c\)  中任兩段的長度和必須大於第三段的長度

不妨先假設 \(h_a\) 最大，而且 \(h_a < h_b+h_c\)

考慮其極端狀況，以描述 \(P\) 點的可行區域的邊界，亦即 \(h_a=h_b+h_c\) 的情況

因為△ABC是正三角形(三邊長相等)，所以此時 △PBC面積是△ABC面積的一半

而得到 \(P\) 落在 \(\overline{AB}\) 與 \(\overline{AC}\) 的中點連線

由對稱性，可知 \(P\) 落在△ABC三邊的中點連線之中，其面積佔△ABC的 \(\frac{1}{4}\)

所以機率為 \(\frac{1}{4}\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-10 05:07 PM 編輯 ]

原本公式是n個相異平面,可以隔出1+n+(n-1)n(n+1)/6個平面
其中1 = C(n , 0)
        n = C(n , 1)
        (n-1)n(n+1)/6 = C(n+1 , 3) = C(n , 2) + C(n , 3)

而n個相異直線分割平面也等於 : C(n , 0) + C(n , 1)+ C(n , 2)

10.  空間中10個相異平面，最多能將空間分割成幾個區域 ?

答 : 176

採取遞迴想法時，可依序由一維二維三維來看這個問題 :

一維 : \(n\) 個點最多可以將一直線分成幾段 (包含射線與線段) ?    以下用 \(a_n\) 表示

則有 \(a_1=2,  a_2=3, a_3=4,...,a_n=a_{n-1}+1\)

而得到 \(a_n=n+1, n=1,2,3,...\)


二維 : \(n\) 條直線最多可以將一平面分成幾個區域?    以下用 \(b_n\) 表示

則有 \(b_1=2,  b_2=4,  b_3=b_2+a_2=7,  b_4=b_3+a_3,...,  b_n=b_{n-1}+a_{n-1}\)

因為每多1條線就可以與前面的  \(n-1\) 條線最多交於 \(n-1\) 點

而這 \(n-1\) 點可以將這條新加上去的直線最多切成 \(a_{n-1}\) 段，因此多了 \(a_{n-1}\) 個區域

最後由遞迴關係得到 \(b_n=\frac{n(n+1)}{2}+1, n=1,2,3,...\)


三維 : \(n\) 個平面最多可以將一空間分成幾個區域(塊)?    以下用 \(c_n\) 表示

則有 \(c_1=2,  c_2=4,  c_3=c_2+b_2=8,  c_4=c_3+b_3,...,  c_n=c_{n-1}+b_{n-1}\)

因為每多1個平面就可以與前面的  \(n-1\) 個平面最多交於 \(n-1\) 條線

而這 \(n-1\) 條線可以將這個新加上去的平面最多切成 \(b_{n-1}\) 個區域，因此多了 \(b_{n-1}\) 個區塊

最後由遞迴關係得到 \(c_n=\frac{n(n^2+5)}{6}+1, n=1,2,3,...\)


所求即為 \(c_{10}=176\)



至於速算法可以畫圖一一對應說明!  (但感覺用遞迴比較嚴謹)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-11 04:20 PM 編輯 ]

填充1的題型似乎很常見
但是小弟還是想不透
懇請板上高手賜教
感謝

想請教填充1,6,7及計算1
感謝

填充第 1 題：
設\(x,y,z \in N\)且\(xy+yz+zx=xyz\)，則數對\((x,y,z)\)之解有　　　組。
[解答]

　　不失一般性，可先假設 \(x\geq y\geq z\)，然後搭配 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)，

　　先由 \(\displaystyle1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}=\frac{3}{z}\)

　　　　 \(\Rightarrow z\leq3\)

　　條列 \(z=1,2,\) 或 \(3\)　之 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) 之值，然後找出所有可能的解。

填充第 7 題：
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{CD}\)交\(\overline{BE}\)於\(F\)，已知\(\Delta BDF\)面積為10，\(\Delta BCF\)面積為20，\(\Delta CEF\)面積為16，則四邊形區域\(ADFE\)之面積為　　　。
[解答]
令所求面積為 \(x\)，

則由孟氏定理，可得

\(\displaystyle\frac{BD}{DA}\cdot\frac{AC}{CE}\cdot\frac{EF}{FB}=1\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{10+20}{x+16}\cdot\frac{10+20+x+16}{20+16}\cdot\frac{16}{20}=1\)

\(\Rightarrow x=44.\)

109.6.16補充
設\(D\)、\(E\)分別在\(\Delta ABC\)的\(\overline{AC}\)和\(\overline{AB}\)上，\(\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}=1\)、\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DC}}=\frac{2}{3}\)，若\(\Delta ABC\)的面積為40，則四邊形\(AEFD\)的面積為　　　。
(109建功高中國中部，https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html)

填充第 6 題：
求\(\displaystyle sin\frac{4\pi}{11}\cdot sin\frac{8\pi}{11}\cdot sin\frac{12\pi}{11}\cdot sin\frac{16\pi}{11}\cdot sin\frac{20\pi}{11}=\)　　　。

所求＝\(\displaystyle-\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{2\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}\)

再利用 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1079&page=1#pid3543 這裡＂註＂的第一項，就可以了！

感謝weiye老師指導