這一題的解法實在太精采有趣了，容我將它整理一遍 :
題目:
10. N 為自然數, A,B,C,D 為 N 的最小的四個相異正因數, 且滿足 , \( \displaystyle N=A^2+B^2+C^2+D^2 \)，試求 N =_________. 答: 130
老王的解答 (整理):
首先，可假設 A<B<C<D
則知道 A=1
再來，N一定是偶數 !
因為若 N 是奇數，則 A,B,C,D皆為奇數，
得到 \( \displaystyle N=A^2+B^2+C^2+D^2 \) 為偶數的矛盾。
故 N 是偶數，由此可知 B=2。且C,D不能同時為奇數或同時為偶數，否則 N不是偶數。
接著，很重要的，N 雖然是偶數，卻不是 4 的倍數!
因為 \( \displaystyle N=1^2+2^2+C^2+D^2=5+C^2+D^2 \) 其中
5=4+1 而 C,D中的奇數平方除以4必餘1，C,D中的偶數平方為4的倍數
所以 N 除以4 後餘數為 2，因此 N 不是4的倍數。
由此可知C,D中的偶數成員必型如: 2p = 2x3 或 2x5 或 2x7...等 (2x1已經用過，就是B。2x2是 4，不合)
而奇數成員恰好為p
所以 \( \displaystyle N=1^2+2^2+C^2+D^2=5+C^2+D^2=5+p^2+(2p)^2=5+5p^2=5(1+p^2) \)
又再得到 N是5的倍數，於是真象大白，C,D中的奇數成員(也就是p)等於5，故 \( \displaystyle N=5(1+p^2)=5(1+5^2)=130 \)
(此題 N=130 是唯一解，沒有其他的答案了! )
109.6.16補充
109建功高中國中部也考這題，
https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html
