如附件
教甄已近尾聲
筆試功力仍需精進!
各位請享用!

1.
\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1} \)的最大值為？\( \sqrt{10} \)
(1992大陸高中數學競賽，95基隆高中，高中數學101修訂版　P237)
[解答]
\( f(x)=\sqrt{(x^2-2)^2+(x-3)^2}-\sqrt{(x^2-1)^2+(x-0)^2} \)
令\( P(x^2,x) \)在\( y^2=x \)上，\( A(2,3) \)，\( B(1,0) \)
\( f(x)=\overline{AP}-\overline{BP}\le \overline{AB}=\sqrt{10} \)
即\( f(x) \)之最大值為\( \sqrt{10} \)


求函數\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)的最小值？4
88高中數學能力競賽，95台中高農，96彰師附工，
97文華高中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781
99萬芳高中，https://math.pro/db/thread-969-1-1.html
99鳳新高中，https://math.pro/db/thread-1492-1-9.html

這麼多學校考過這兩題，答案你背起來了沒？


8.
△ABC中，a,b,c分別為頂點A,B,C的對邊，若\( \displaystyle \frac{cotC}{cotA+cotB}=99 \)，求\( \displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2} \)？
(95台中高農)

Let a,b,c be the three sides of a triangle, and let α,β,γ be the angles opposite them. If \( a^2+b^2=1989c^2 \), find \( \displaystyle \frac{cot \gamma}{cot \alpha+cot \beta} \)
(1989AIME)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-30 09:14 PM 編輯 ]

請問第2,3,5,6,9,10題  要怎麼做?

[ 本帖最後由 mandy 於 2011-7-1 08:54 PM 編輯 ]

2.
有7個城鎮圍成一七邊形,，已知除了\( D,E \)外，任兩城鎮間皆恰有一條道路往來。某人從\(A\)出發經過每一城鎮一次後回到\(A\)，若相同路徑不得重複走, 則此人有　　　種不同的走法。

[解答]
就是BCDEFG的直線排列，但是DE不能相鄰
6!-2*5!=4*5!=480


3.
在坐標平面上，不等式\( (3x^2-y^2)[log_2 (25-x^2-y^2)-3]\ge 0 \)所表示的區域之面積為　　　。
[解答]
圖中藍色區域
\(\displaystyle 2\times\frac{1}{2}[\frac{2\pi}{3}\times17+\frac{\pi}{3}(25-17)]=14\pi \)

5.
設\( \alpha_1,\alpha_2 \ldots \alpha_1n \)是\(n\)次多項方程式\( x^n+x^{n-1}+\ldots+x+1=0 \)的\(n\)個根，試求：\( \displaystyle \frac{1}{\alpha_1-1}+\frac{1}{\alpha_2-1}+\frac{1}{\alpha_n-1}= \)　　　。
[解答]
令\( f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1 \)
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha_1}+\frac{1}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{1}{x-\alpha_n} \)
所求為
\(\displaystyle -\frac{f'(1)}{f(1)}=-\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n+1}=-\frac{n}{2} \)


6.
設\( \alpha,\beta,\gamma,\theta \in R \)，試求：\( \sqrt{(cos \theta-\alpha)^2+(sin \theta-\beta)^2}+\sqrt{(cos \gamma-\alpha+5)^2+(sin \gamma-\beta+15)^2}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-24\alpha+18\beta+225}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-60\alpha-20\beta+1000} \)的最小值為　　　。
[解答]
視為點 \( P(\alpha,\beta) \)到\( A(\cos\theta,\sin\theta) \)、\( B(5+\cos\gamma,15+\sin\gamma) \)
還有C(12,-9)和D(30,10)的距離和
A在單位圓O上，B在圓\( M : (x-5)^2+(y-15)^2=1 \)上，P到圓的最短距離會等於到圓心距離減去半徑，
所以所求可以看成P到O、M、C、D四點距離和的最小值再減2
最小值發生在四邊形OCDM對角線交點
所求為\( 25+10\sqrt{10}-2=23+10\sqrt{10} \)

9.
設橢圓曲線\( \Gamma \)：\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1 \)與直線\(L\)：\( x=12 \)，若\( A_0,F \)的坐標分別為\( (6,0),(3,0) \)，在曲線\( \Gamma \)上另有11個點\(A_k\)，\( k=1,2,3,\ldots,11 \)使得\(∠A_0FA_1=∠A_1FA_2=\ldots=∠A_{11}FA_0\)，令\( d_k \)為\( A_k \)到\(L\)的距離，試求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{11}\frac{1}{d_k}= \)　　　。
[解答]
參考 圓錐曲線焦弦的性質
http://lyingheart6174.pixnet.net ... 4%E6%80%A7%E8%B3%AA
共有六組，離心率為\( \frac{1}{2} \)，所求為
\(\displaystyle 6\times\frac{4}{\frac{54}{6}}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{3} \)

10.
\( N \)為自然數，\( A,B,C,D \)為\(N\)的最小的四個相異正因數，且滿足\( N=A^2+B^2+C^2+D^2 \)，試求\( N= \)　　　。
[解答]
\(A=1\)
若\(N\)為奇數，右邊是偶數，不合，故\(N\)是偶數
\(B=2\)
此時不管\(C、D\)如何，平方和不會是4的倍數，所以\(N\)不是4的倍數
若\(C、D\)皆為奇數，右邊為奇數，不合
故令\(C=p,D=2p\)
\(N=5+5p^2=5(1+p^2)\)
故\(p=5\)
\(N=130\)

請問老王老師

第6題這樣的題目類型，有可能考到三點距離和為最小嗎

關於第9題

網頁中提到性質2可以改為 ：1/PF＋1/QF＝4/K。(K為正焦弦長)

這裡頭不是已經把離心率e用c/a替換了嗎

為什麼最後還需要乘上e=1/2

另外想請問  習題中提到  如何用解析方法證明性質2

感謝老師指導

感謝以上所有老師 !!

因為計算的是1/PF+1/QF，但是此題要的是1/d(P,L)+1/d(Q,L)
也就是P、Q到準線距離的倒數和，而PF=e*d(P,L)，QF=e*d(Q,L)
1/d(P,L)+1/d(Q,L)=e/PF+e/QF
所以還要乘上離心率。
其實只要知道這個性質，那麼就直接用長軸兩頂點來算這定值就很快。

另外，通常作者不想算的東西，會留做習題。
應該就是把方程式寫出來，然後再利用PFQ共線的條件去導出來吧。