題目請見附件

6.
設xy為實數，且滿足x2+xy+y2=6，若x2+y2的最大值為M，最小值為m，試求M+m=？
(A) 10　(B) 12　(C) 14　(D) 16

xyR，若x2+xy+y2=1，則x2+y2之最大值？x2+y2之最小值？
(高中數學101　P69)


7.
若n=1+22!+33!++5050!則n除以50的餘數為
(A) 13　(B) 23　(C) 29　(D) 49

試求1!1+2!2++90!90+91!91除以2002之餘數？
(200TRML個人賽)

2.
化簡cos76−cos75+cos74的值為？

cos7−cos72+cos73
(100松山工農，https://math.pro/db/thread-1137-1-1.html
IMO 1963，http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1963)

112.7.27補充
求sin72+sin74−sin7=　　　。
(112東石高中，https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)

3.
設f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，試求f(x6)除以f(x)所得的餘式為？

設多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，則f(x12)除以f(x)所得到的餘式為何？
(94台南縣國中聯招，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1770)

2011.6.29補充
設f(x)=x2005+x2004++x+1，試求f(x2006)除以f(x)所得的餘式？
(94高中數學能力競賽　南區(高雄區)　筆試一試題，

104.5.2補充
設多項式f(x)=x2015+x2014++x+1，則試求f(x2016)除以f(x)所得的餘式為。
(104桃園高中，https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)


4.
設f(x)=x3+2x2−3x−1，g(x)=x4+3x3−x2−5x+2，且α,βγ為f(x)=0之三根。試求g()g()g()之值？
(96師大附中，
98中崙高中，https://math.pro/db/thread-807-1-1.html)


8.
若43x2且f(x)=2−x+4x−3 ，則當x=？時f(x)有最大值為多少？

y=3−x+5x−4 求最大值和最小值？
(埔里高工，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=25127[/url]
97南一中，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47375[/url])

求函數f(x)=x−3+12−3x 的值域？
(98南港高工，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=420)

另外找一題三個根號的讓各位算看看
求函數 y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt{x} 的最大和最小值？
(2009大陸高中數學競賽)

104.4.12補充
設 \displaystyle \frac{7}{3}\le x \le \frac{9}{2} ， f(x)=\sqrt{3x-7}+2\sqrt{9-2x} ，則 f(x) 最大值為。
(104台中女中，https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html)

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=6395#p6395

請問填充9,
我知道是考柯西等式成立時之條件,但是仍算不出來,請老師們指點

請教版上先進

選擇
第8與9

綜合
第5與7

謝謝

選擇8  可以參考老王老師那邊的漂亮解法

選擇9
已知\Delta ABC中，\angle C為直角，\overline{BC}上有一點D，使得\angle CAD=2\angle DAB，若\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}=\frac{4}{5}，則\displaystyle \frac{\overline{CD}}{\overline{BD}}=
(A)\displaystyle \frac{27}{25}　(B)\displaystyle \frac{5}{9}　(C)\displaystyle \frac{19}{17}　(D)\displaystyle \frac{2}{3}
[解答]
利用tan 的和角公式就可以了
或者利用座標化搭配和角公式硬求
\displaystyle tan\angle CAD=\frac{3}{4}=\frac{2tan\angle BAD}{1-tan^2 \angle BAD}
可得\displaystyle tan\angle BAD=\frac{1}{3}
又\displaystyle tan\angle BAC=tan3\angle BAD=\frac{3tan\angle BAD-tan^3 \angle BAD}{1-3tan^2 \angle BAD}
可知\displaystyle tan\angle BAC=\frac{13}{9}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}
這樣就可以得到結果

綜合7
\alpha,\beta為兩複數，滿足\beta^2-2\alpha \beta+4\alpha^2=0，且|\;\alpha-\beta|\;=2\sqrt{3}，若\alpha,\beta在複數平面上所代表的點為A,B，而O是複數平面的原點，則\Delta OAB的面積為　　　。
[提示]
先去算 \alpha 與 \beta 的長度關係  與  夾角
然後利用 |\alpha - \beta |=2 \sqrt{3}可知道 \alpha 與 \beta 的距離
利用這兩點  可以得到 | \alpha |  就可以算面積

想請教一下選擇第10題
總覺得算的出來，但卡住了~
麻煩幫忙解答，謝謝!

選擇10.
若\displaystyle \omega=cos40^{\circ}+isin40^{\circ}其中i=\sqrt{-1}，則|\;\omega+2\omega^2+3\omega^3+\ldots+9\omega^3|\;^{-1}=
(A)\displaystyle \frac{1}{9}sin40^{\circ}　(B)\displaystyle \frac{2}{9}sin20^{\circ}　(C)\displaystyle \frac{1}{9}cos40^{\circ}　(D)\displaystyle \frac{1}{18}cos20^{\circ}
[解答]
S=w+2w^2+3w^3+.....+9w^9
wS=        w^2+2w^3+.....+8w^9+9w^{10}
相減
(1-w)S=w+w^2+w^3+.....+w^9-9w^{10}
剩下取絕對值化簡就可以做出來了