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學校在7月2日公佈.....囧.....
還好被我抓到
如附件
請各位參照!

我想問公佈板的題目 第3題

感謝八神庵過了這麼久還記得去學校網站留意有沒有公佈題目
否則校方一拿掉公告這份題目就失傳了

2.
袋中有1,2,...,9號球各一個，每次自袋中取出一球，取後放回，共取n次，n次和為偶數的機率記為Pn，
求(1)Pn+1及Pn之關係式？　(2)limnPn=？

不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以Pn表示前n次取球的編號之總和為偶數的機率。
求Pn=？(以n表示)
(99鳳新高中，https://math.pro/db/thread-974-1-2.html)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089

一袋中有5個球，分別寫上1、2、3、4、5號，今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中，如此繼續n次，若Pn表紀錄到n次數字和為偶數的機率，則n=1(21−Pn)= ？
(100中科實中，https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html)


3.
利用最小平方法得到二維數據(x1y1),(x2y2),...,(xnyn),y對x的迴歸直線為y=a+bx，
另一組二維數據(u1v1),(u2v2),...,(unvn)是透過u=c+dx，v=e+fy所得到的，
已知abcded為定值，求v對u的迴歸直線方程式？
[答案]
y=(fa+e−dbcd)+dbfx


7.
求方程式x+x+x++x+x=y ，
x，y的非負整數解，其中共有2011個√，且√指正根而言。

Find all possible integer solutions for x+x(x+x)=y , where there are 1998 square roots.
連結已失效h ttp://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/r41-50.html


補個類似題
試求方程x=2+2++2+x 的所有的正根？

試求方程：x=2+2+2+2+x 的根。
(初中數學競賽教程P353)

101.4.30補充
設[x]表示不大於x最大整數，例如：[3]=3，[23]=2，[−25]=−3，則
2010+2010+2010+2010++2010 之值為何？
(其中共有2010個2010)
(建中通訊解題第82期)
[解答]
定義數列，an+1=2010+an ，a1=2010 
44a1454520552010+a120564645a246 
繼續如此的步驟
45a34645a44645a201046
故所求=[a2010]=45

113.4.10補充
令x=2024+2024+2024+2024+2024 ，其中2024共出現2024次，則[x]=　　　。
註：[x]表示小於或等於x的最大整數。
(113北一女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3828&page=1#pid25679)

請教一下
這份考題有答案嗎?
小弟我沒找到，有的可以分享一下嗎?
謝謝!

老師您好，請問第10題應該要如何著手呢??

三正數a,b,c，a+b+c=3的那一題，謝謝老師。

引用:

原帖由 bluewing 於 2011-7-14 10:54 AM 發表
老師您好，請問第10題應該要如何著手呢??

三正數a,b,c，a+b+c=3的那一題，謝謝老師。

這裏有類題…還是謝謝這一版…。
https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html


借用那邊算的結果答案為3/2…。

好像也可用猜的…a=b=c=1代入求解…。

[ 本帖最後由 peter579 於 2011-7-18 03:55 PM 編輯 ]

請問#3(問迴歸直線方程式)的答案斜率不必分正負嗎? 不過我算出來的常數項也算錯就是了,所以想請教一下該怎麼算?
還有也想問一下#12的證明該怎麼寫,謝謝

[ 本帖最後由 pizza 於 2012-2-27 05:19 PM 編輯 ]

第 3 題：

設 x1x2xn 的算術平均數為 x，標準差為 Sx，

　 y1y2yn 的算術平均數為 y，標準差為 Sy，

　 u1u2un 的算術平均數為 u，標準差為 Su，

　 v1v2vn 的算術平均數為 v，標準差為 Sv，

　 X 與 Y 的相關係數為 rXY，U 與 V 的相關係數為 rUV，


＜＜先來看看已知蝦咪＞＞

因為 y 對 x 的迴歸直線為 y=a+bx，

所以 y=a+bx 且 b=rXYSxSy



＜＜再來看看最後是找出來蝦咪東西，寫過程的時候這一塊通常反而是會很後面才說～＞＞
｜
｜　　v 對 u 的迴歸直線必通過 (uv)，
｜
｜　　且其斜率為 rUVSvSu
｜
└──────────────────────────＜其實這塊只是在思考接下來要怎樣走～不用寫啦＞


＜＜好吧，要把這兩者扯再一起了～＞＞

因為 u=c+dx，所以 \displaystyle \overline{u}=c+d\overline{x}\Rightarrow \overline{x}=\frac{\overline{u}-c}{d}

因為 v=e+fy，所以 \displaystyle \overline{v}=e+f\overline{y}\Rightarrow \overline{y}=\frac{\overline{v}-e}{f}

因為 \overline{y}=a+b\overline{x}，所以 \displaystyle \frac{\overline{v}-e}{f}=a+b\left(\frac{\overline{u}-c}{d}\right)　　　───（＊）

且

\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{df}{|df|}r_{XY}\cdot\frac{|f|S_y}{|d|S_x}

　　　　　　　　\displaystyle =\frac{df}{|d|^2}\cdot r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}

　　　　　　　　\displaystyle =\frac{f}{d}\cdot b



＜＜再來招喚剛剛思考的那塊～＞＞

因為 v 對 u 的迴歸直線必通過 (\overline{u},\overline{v})，

且其斜率 \displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{f}{d}\cdot b

因此，v 對 u 的迴歸直線為

\displaystyle v-\overline{v}=\frac{f}{d}\cdot b(u-\overline{u})

\displaystyle \Rightarrow \frac{v-\overline{v}}{f}=\frac{b}{d}(u-\overline{u})

\displaystyle \Rightarrow \frac{(v-e)-(\overline{v}-e)}{f}=\frac{b}{d}\left((u-c)-(\overline{u}-c)\right)

\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-\frac{\overline{v}-e}{f}=\frac{b(u-c)}{d}-\frac{b(\overline{u}-c)}{d}

將（＊）帶入可得

\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-a=\frac{b(u-c)}{d}

\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}

結束。





然後，下次如果是考填充題，那就～

把 \displaystyle u=c+dx, v=e+fy\Rightarrow x=\frac{u-c}{d}, y=\frac{v-e}{f} 帶入 y=a+bx

即可得 \displaystyle \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}

第 12 題：

已知 p(0)=a_0 為奇數，且 p(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0 亦為奇數，

假設 p(x)=0 有整數根 \alpha，

若 \alpha 為偶數，則

　　p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\equiv a_0\equiv 1\pmod{2}

　　\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2 此與 p(\alpha)=0 互相矛盾。

若 \alpha 為奇數，則

　　p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0

　　　　　　　　\equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^{n-1}+\cdots+a_1\cdot1+a_0

　　　　　　　　\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0 \equiv 1\pmod{2}

　　\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2 此與 p(\alpha)=0 互相矛盾。

因此，p(x)=0 既無偶數根，亦無奇數根，

可得 p(x)=0 無整數根。