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100鳳山高中

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請問第6,7,9題.謝謝

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100鳳山高中公告版

as title
學校在7月2日公佈.....囧.....
還好被我抓到
如附件
請各位參照!

附件

鳳山高中.pdf (178.95 KB)

2011-7-4 19:42, 下載次數: 2220

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我想問公佈板的題目 第3題

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感謝八神庵過了這麼久還記得去學校網站留意有沒有公佈題目
否則校方一拿掉公告這份題目就失傳了

2.
袋中有1,2,...,9號球各一個,每次自袋中取出一球,取後放回,共取n次,n次和為偶數的機率記為\( P_n \),
求(1)\( P_{n+1} \)及\( P_n \)之關係式? (2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n= \)?

不透明箱內有編號分別為1至9的九個球,每次隨機取出一個,紀錄其編號後放回箱內;以\( P_n \)表示前n次取球的編號之總和為偶數的機率。
求\( P_n= \)?(以n表示)
(99鳳新高中,https://math.pro/db/thread-974-1-2.html)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089

一袋中有5個球,分別寫上1、2、3、4、5號,今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中,如此繼續n次,若\( P_n \)表紀錄到n次數字和為偶數的機率,則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_n)= \)?
(100中科實中,https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html)


3.
利用最小平方法得到二維數據\( (x_1,y_1) \),\( (x_2,y_2) \),...,\( (x_n,y_n) \),y對x的迴歸直線為\( y=a+bx \),
另一組二維數據\( (u_1,v_1) \),\( (u_2,v_2) \),...,\( (u_n,v_n) \)是透過\( u=c+dx \),\( v=e+fy \)所得到的,
已知\( a,b,c,d,e,d \)為定值,求v對u的迴歸直線方程式?
[答案]
\( \displaystyle y=(fa+e-\frac{bcd}{d})+\frac{bf}{d}x \)


7.
求方程式\( \displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}}=y \),
x,y的非負整數解,其中共有2011個√,且√指正根而言。

Find all possible integer solutions for \( \sqrt{x+\sqrt{x...(x+\sqrt{x}...)}}=y \), where there are 1998 square roots.
http://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/r41-50.html


補個類似題
試求方程\( x=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+x}}} \)的所有的正根?

試求方程:\( x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}} \)的根。
(初中數學競賽教程P353)

101.4.30補充
設\( [\; x ]\; \)表示不大於x最大整數,例如:\( [\; 3 ]\;=3 \),\( [\; 2.3 ]\;=2 \),\( [\; -2.5 ]\;=-3 \),則
\( \displaystyle \Bigg[\; \sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+2010}}}} \Bigg]\; \)之值為何?
(其中共有2010個2010)
(建中通訊解題第82期)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-4-30 07:07 PM 編輯 ]

附件

The4thAllRussianMathematicalOlympiad.rar (10.41 KB)

2011-7-7 08:59, 下載次數: 1749

100鳳山高中.gif (42.16 KB)

2011-7-7 08:59

100鳳山高中.gif

初中數學競賽指導.gif (64.75 KB)

2011-7-7 08:59

初中數學競賽指導.gif

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請教一下
這份考題有答案嗎?
小弟我沒找到,有的可以分享一下嗎?
謝謝!

[ 本帖最後由 gamaisme 於 2011-7-13 08:20 PM 編輯 ]

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老師您好,請問第10題應該要如何著手呢??

三正數a,b,c,a+b+c=3的那一題,謝謝老師。

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引用:
原帖由 bluewing 於 2011-7-14 10:54 AM 發表
老師您好,請問第10題應該要如何著手呢??

三正數a,b,c,a+b+c=3的那一題,謝謝老師。
這裏有類題…還是謝謝這一版…。
https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html


借用那邊算的結果答案為3/2…。

好像也可用猜的…a=b=c=1代入求解…。

[ 本帖最後由 peter579 於 2011-7-18 03:55 PM 編輯 ]

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請問#3(問迴歸直線方程式)的答案斜率不必分正負嗎? 不過我算出來的常數項也算錯就是了,所以想請教一下該怎麼算?
還有也想問一下#12的證明該怎麼寫,謝謝

[ 本帖最後由 pizza 於 2012-2-27 05:19 PM 編輯 ]

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回復 19# pizza 的帖子

第 3 題:

設 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的算術平均數為 \(\overline{x}\),標準差為 \(S_x\),

  \(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 的算術平均數為 \(\overline{y}\),標準差為 \(S_y\),

  \(u_1,u_2,\cdots,u_n\) 的算術平均數為 \(\overline{u}\),標準差為 \(S_u\),

  \(v_1,v_2,\cdots,v_n\) 的算術平均數為 \(\overline{v}\),標準差為 \(S_v\),

  \(X\) 與 \(Y\) 的相關係數為 \(r_{XY}\),\(U\) 與 \(V\) 的相關係數為 \(r_{UV}\),


<<先來看看已知蝦咪>>

因為 \(y\) 對 \(x\) 的迴歸直線為 \(y=a+bx\),

所以 \(\overline{y}=a+b\overline{x}\) 且 \(\displaystyle b=r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}\)



<<再來看看最後是找出來蝦咪東西,寫過程的時候這一塊通常反而是會很後面才說~>>

|  \(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線必通過 \((\overline{u},\overline{v})\),

|  且其斜率為 \(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}\)

└──────────────────────────<其實這塊只是在思考接下來要怎樣走~不用寫啦>


<<好吧,要把這兩者扯再一起了~>>

因為 \(u=c+dx\),所以 \(\displaystyle \overline{u}=c+d\overline{x}\Rightarrow \overline{x}=\frac{\overline{u}-c}{d}\)

因為 \(v=e+fy\),所以 \(\displaystyle \overline{v}=e+f\overline{y}\Rightarrow \overline{y}=\frac{\overline{v}-e}{f}\)

因為 \(\overline{y}=a+b\overline{x}\),所以 \(\displaystyle \frac{\overline{v}-e}{f}=a+b\left(\frac{\overline{u}-c}{d}\right)\)   ───(*)



\(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{df}{|df|}r_{XY}\cdot\frac{|f|S_y}{|d|S_x}\)

        \(\displaystyle =\frac{df}{|d|^2}\cdot r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}\)

        \(\displaystyle =\frac{f}{d}\cdot b\)



<<再來招喚剛剛思考的那塊~>>

因為 \(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線必通過 \((\overline{u},\overline{v})\),

且其斜率 \(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{f}{d}\cdot b\)

因此,\(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線為

\(\displaystyle v-\overline{v}=\frac{f}{d}\cdot b(u-\overline{u})\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-\overline{v}}{f}=\frac{b}{d}(u-\overline{u})\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{(v-e)-(\overline{v}-e)}{f}=\frac{b}{d}\left((u-c)-(\overline{u}-c)\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-\frac{\overline{v}-e}{f}=\frac{b(u-c)}{d}-\frac{b(\overline{u}-c)}{d}\)

將(*)帶入可得

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-a=\frac{b(u-c)}{d}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}\)

結束。





然後,下次如果是考填充題,那就~

把 \(\displaystyle u=c+dx, v=e+fy\Rightarrow x=\frac{u-c}{d}, y=\frac{v-e}{f}\) 帶入 \(y=a+bx\)

即可得 \(\displaystyle \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}\)

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回復 19# pizza 的帖子

第 12 題:

已知 \(p(0)=a_0\) 為奇數,且 \(p(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 亦為奇數,

假設 \(p(x)=0\) 有整數根 \(\alpha\),

若 \(\alpha\) 為偶數,則

  \(p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\equiv a_0\equiv 1\pmod{2}\)

  \(\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2\) 此與 \(p(\alpha)=0\) 互相矛盾。

若 \(\alpha\) 為奇數,則

  \(p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\)

        \(\equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^{n-1}+\cdots+a_1\cdot1+a_0\)

        \(\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0 \equiv 1\pmod{2}\)

  \(\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2\) 此與 \(p(\alpha)=0\) 互相矛盾。

因此,\(p(x)=0\) 既無偶數根,亦無奇數根,

可得 \(p(x)=0\) 無整數根。

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