第 13 題：將「南港愛我，我愛南港」8 個字全取排成一列，其中「南」與「港」兩字不相鄰之排法有＿＿＿種。

解答：

先排「我我愛愛」有 \(\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6\) 種

然後再讓「南南港港」插空隙

可能的情況有四種「南南相鄰、港港相鄰」「南南相鄰、港港分開」「南南分開、港港相鄰」「南南分開、港港分開」

所以插空隙的方法有 \(C^5_1C^4_1+C^5_1C^4_2+C^5_2C^3_1+C^5_2C^3_2=110\) 種

所以，所求方法數為 \(6\times 110=660\) 種。

請教第16題，有沒有類似的解法，謝謝。

問了蠢問題  自刪

[ 本帖最後由 JOE 於 2011-7-3 08:13 PM 編輯 ]

我用 矩陣算出 甲的期望值=16  所以乙的是=35-16=19

不知盲點在哪  請指教一下 謝謝!

第 16 題：（速解）

經長期互換多次後呈現穩定狀態後，

錢幣總額 \(10+10+5+5+5=35\) 元，均分給五個硬幣，

每個硬幣價值的期望值為 \(35\div 5= 7\) 元

乙袋有 \(3\) 個硬幣，所以期望值為 \(3\times 7=21\) 元。




另解：（比較慢一點，但是是標準作法）

轉移矩陣 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{2}&1\\ 0&\frac{1}{6}&0\end{array}\right]\)

其中上方的三的狀態分別是甲有 5+5元、10+5元、10+10元，

轉移後的左方三的狀態分別是甲有 5+5元、10+5元、10+10元。

長期而言，設達穩定狀態的矩陣為 \(\displaystyle P=\left[\begin{array}{c}x\\y\\1-x-y\end{array}\right]\)，

由 \(AP=P\)，可解得 \(\displaystyle x=\frac{3}{10}, y=\frac{3}{5}\)，

所以，長期而言，甲袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 10\times \frac{3}{10}+15\times\frac{3}{5}+20\times\left(1-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}\right)=14.\)

乙袋金額的期望值為 \(35-14=21\) 元。



相同題目：99台中二中，https://math.pro/db/thread-934-1-1.html 計算第 5 題



103.03.22 補充 -----------------------------------------------------------------------------------------

有朋友跟我說他對轉移矩陣內的數字怎麼來的不太懂，補充說明如下：

甲有 5+5 （乙就有 10+10+5 元）

甲袋不管怎麼拿都會拿出 5 元

乙袋有 2/3 的機率拿到 10 元，有 1/3 的機率拿到 5 元，

因此，兩袋各取一枚硬幣交換的話，

有 1/3 的機率交換後，甲袋還是有 5+5 元。

有 2/3 的機率交換後，甲袋變成 10+5 元。

有 0 的機率（也就是不可能），甲袋會變成 10+10 元。

所以第一行的機率是 1/3, 2/3, 0


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甲有 10+5 （乙就有 10+5+5 元）

甲袋有 1/2 的機率拿到 10 元，有 1/2 的機率拿到 5 元，

乙袋有 1/3 的機率拿到 10 元，有 2/3 的機率拿到 5 元，

因此，兩袋各取一枚硬幣交換的話，

有 (1/2)*(2/3)=1/3 的機率交換後（甲袋拿出10元，乙袋拿出5元來交換），甲袋會變成有 5+5 元。

有 (1/2)*(1/3)+(1/2)*(2/3)=1/2 的機率交換後（甲乙袋都拿出10元交換，或是甲乙袋都拿出5元來交換），甲袋還是有 10+5 元。

有 (1/2)*(1/3)=1/6 的機率（甲袋拿出5元，乙袋拿出10元來交換），甲袋會變成 10+10 元。

所以第一行的機率是 1/3, 1/2, 1/6

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同理，第三行留給你寫。

配方之後x=8分之3，而非4分之3吧?

由\(10-x^2 \ge 0 \)得到\(-\sqrt{10} \leq x  \leq \sqrt{10} \)
再由\( 10-x^2>(x+2)^2 \)得到-3<X<1
交集得-3<x<1

您將 \(\sqrt{10-x^2}>x+2\) 兩邊同時平方的動作，做得太快了一點～

它與 \(10-x^2>(x+2)^2\) 並不全然可以等價～

要是右邊負很多～左邊正很小～

像是當 \(-\sqrt{10}<x\leq -3\) 時，這兩個不等式就沒有等價。




解答：

因為 \(\sqrt{10-x^2}\) 有意義，

所以 \(10-x^2\geq0\Rightarrow -\sqrt{10}\leq x\leq \sqrt{10}\)

case i: 若 \(x+2<0\) 時，即 \(-\sqrt{10}\leq x<-2\) 時，

　　　　因為 \(\sqrt{10-x^2}\geq0>x+2\) 必成立，

　　　　得 \(-\sqrt{10}\leq x<-2\)。

case ii: 若 \(x+2\geq0\)，即 \(-2\leq x\leq \sqrt{10}\) 時，

　　　　\(\sqrt{10-x^2}>x+2\geq 0\Rightarrow 10-x^2>(x+2)^2\)

　　　　\(\Rightarrow -3<x<1\)，且因為 \(-2\leq x\leq\sqrt{10}\)

　　　　得 \(-2\leq x<1\)

由 case i&ii，可得 \(-\sqrt{10}\leq x<1.\)

第 12 題：

|x|=\ 1
若f(x-3/x+1)+f(3+x/1-x)=x 求 f(x)

謝謝
試很久,都做不出來
請版上高手開釋一下

第 12 題：

已知 \(|x|\neq 1\)，若 \(\displaystyle f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x})=x\)，求 \(f(x)\)

解：

\(\displaystyle f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x})=x\) ‧‧‧(i)

令 \(\displaystyle a=\frac{x-3}{x+1}\)，則 \(\displaystyle x=\frac{3+a}{1-a}\)

帶入（ｉ），可得 \(\displaystyle f(a)+f(\frac{a-3}{a+1})=\frac{3+a}{1-a}\)

　　　　　　　即 \(\displaystyle f(x)+f(\frac{x-3}{x+1})=\frac{3+x}{1-x}\) ‧‧‧(ii)

令 \(\displaystyle b=\frac{3+x}{1-x}\)，則 \(\displaystyle x=\frac{b-3}{b+1}\)

帶入（ｉ），可得 \(\displaystyle f(\frac{3+b}{1-b})+f(b)=\frac{b-3}{b+1}\)

　　　　　　　即 \(\displaystyle f(\frac{3+x}{1-x})+f(x)=\frac{x-3}{x+1}\)  ‧‧‧(iii)

由　［(iii)＋(ii)－(i)］／2，可得 \(\displaystyle f(x)=\frac{x^3+7x}{2-2x^2}\)


ps. 1. 這是哪一間學校的題目呀？好像有看過這題！

　　2. 感謝 俞克斌 老師提醒我最後答案的計算錯誤。現已修正。：Ｄ