這是去年考完考憑記憶記下的考題
當時約有11~12位報考數學科
取4位進複試 (不過後來記得國英數錄取人員從缺)
因以後應該不會再考甄試了
所以就把原本秘傳的考題提供給大家參考

sorry
填充第二題參考答案應更正為21*13=273才對！

今天正好練習這份試題，先感謝 Fermat 記下題目

填充 7. 8 參考答案是否錯誤，以下是小弟的計算

填充 7. \(\displaystyle \int_0^\pi \pi \left( 1^2 - (1-\sin x)^2 \right) dx = \pi \int_0^\pi 2\sin x-\sin^2 xdx =\pi(4-\frac{\pi}{2}) \)

填充 8.有五對，所以任選 3 對使其恰相鄰，因此答案應該 \( 10 = C^5_3 \) 之倍數才是

先選 3 對相鄰的：\( C^5_3 \)

三對有逆時針和順時針有兩種不同情況：\( 2 \)

此三對夫婦可互換位置 \( 2^3 \)

此時環狀上有三個間隔，可讓剩於兩對入座，
分作三種可能：1. 四人於一間隔，恰間隔作 ABab 大小寫及不同字母換序  \( C^3_1\cdot 4\cdot 2 \)
                            2. 四人分於二間隔 ABa, b 或 AB, ab 大小寫和不同字母換序 \( P^3_2\cdot 4\cdot 2 + C^3_2\cdot 4\cdot 2 \cdot2 \)
                            3. 四人分於三間隔  AB, a,b 大小寫和不同字母換序 \( 3 \cdot 4\cdot 2 \cdot2 \)

因此總數為 \( C^5_3 \cdot 2 \cdot 2^3 \cdot (24+96+48) = 26880 \)

感謝老王老師提醒第 8 題有計算錯誤，已修正之。

填充第 2 題老王老師解過：http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5121790

填充 4. 是黎曼和轉成積分來計算的問題

方法見於 https://math.pro/db/thread-1340-1-1.html

填充 2. 直線之上的相鄰兩個格子點的的間距為 \( (21,-13) \)

可以去考慮在第一象限中，線上最左邊的格子點的位置

謝謝你們！

第三題
A={n:1=<n=<2010},A的所有子集的最大元素的算術平均數為S，則最接近S的整數為
寸絲老師整理講義解出來的答案是2009。
我疑惑是空集合中最大元素要取??
還有這一題目，該不會是暴力法寫出來找規則嗎???

空集合沒有最大元素，因此不用算。

規律不是用暴力法找的，是如下：

對於 \(A\) 中的元素 \(k\)，以 \(k\) 為最大元素的 \(A\) 的子集合個數有 \(2^{k-1}\) 個，

因為比 \(k\) 小的 \(k-1\) 個元素每個都可以選擇「放入」或「不放入」該子集合當中，
（當然 \(k\) 本身要放進去，而比 \(k\) 大的元素絕對不要放進去。）

因此，以 \(k\) 為最大元素的 \(A\) 的子集合個數有 \(2^{k-1}\) 個，

所以，在計算算數平均數的時候， \(k\) 會被算 \(2^{k-1}\) 次，

因此　\(S=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{2010} 2^{k-1}\cdot k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{2010} 2^{k-1}}\)，

剩下分子（錯位相減法）、分母（等比級數）分別化簡的步驟並不難。

想請教第二題。  PS: 老王部落格被吞沒了，寸絲師說明也沒看懂，故此問。