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100師大附中

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以下解法其實跟 superlori 的解法原理一樣。^__^


第 3 題:設 \(\triangle ABC\) 為等邊三角形, \(D\) 為 \(\triangle ABC\) 內的點。已知 \(\overline{DA}=13\),\(\overline{DB}=12\),\(\overline{DC}=5\),求 \(\triangle ABC\)的邊長為_________。


解答:

設正三角形 \(\triangle ABC\) 的邊長為 \(a\),

將 \(\triangle DAB\)、\(\triangle DBC\)、\(\triangle DCA\) 分別以 \(A\)、\(B\)、\(C\) 為中心,

逆時針旋轉 \(60^\circ\),可得如下圖,



此六邊形面積為原來正三角形面積的兩倍,

而且也是由六個小三角形所構成,

這六個小三角形分別是〝邊長為 5 的正三角形〞
          〝邊長為 12 的正三角形〞
          〝邊長為 13 的正三角形〞
           以及三個〝邊長為 5,12,13 的直角三角形〞
因此,

\(\displaystyle 2\cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4}{a^2} \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {5^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {12^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {13^2}+3\cdot \left( \frac{5\times 12}{2} \right)\Rightarrow a=\sqrt{169+60\sqrt{3}}\)

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請教瑋岳老師
第八題的方法是如何觀察的
是經驗嗎!?
謝謝!!

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回復 12# ejo3vu84 的帖子

觀察 \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty \left(n^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n-n\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n+\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)\)

然後聯想到幾何級數(等比級數) \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\mbox{首項}}{1-\mbox{公比}}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}\)

再想到 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\) (其中當 \(|x|<1\) 時,級數會收歛)

然後開始想~要如何拼出 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty n\cdot x^n\) 與 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty n^2\cdot x^n\),

因為聯想到 https://math.pro/db/thread-62-1-4.html 這個例子中的另解的情況~^__^

所以想到用「先微分,再乘 \(x\) 」的方法~ ^__^



註:剛剛發現~~ thepiano 老師寫的 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2484 來自 PTT 網友 a016258 的解法也很棒!!

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謝謝瑋岳老師~~很清楚
又學到了一個厲害的技巧 ^__^

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計算證明題第 4 題是數論會學到的 Wilson 定理~ ^_____^

敘述與證明詳見:1. http://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem
        或 2. http://primes.utm.edu/notes/proofs/Wilsons.html
       或 3. http://math.ntnu.edu.tw/~li/ent-html/node18.html

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回復 5# superlori 的帖子

確實是我算歪斜線的距離方法錯了,謝謝你!

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填充7

一開始是用餘弦去做,想了幾次也還是看不出什麼特別的感覺,底下用中線定理來寫:

由費馬點結論知道,BG=CF
那麼三角形BCF有:
\(\displaystyle BF^2+CF^2=2(FM^2+BM^2) \)
三角形BCG有
\(\displaystyle BG^2+CG^2=2(GM^2+BM^2) \)
兩式相減即得
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 3# waitpub 的帖子

第九題

ACA +BCB-ACB-BCA=I
整理

\((A-B)^2C=I\)

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回復 18# iamcfg 的帖子

寫成 \((A - B) C (A - B)= I\) 會比較好,

因為矩陣乘法沒有交換律~

然後 \(C = (A - B)^{-1}  I  (A - B)^{-1} = \left[(A - B)^{-1}\right]^2\)





註:這裡 也有 thepiano 老師的寫法,兩位老師都一樣讚,感謝提供這麼棒的解法。^__^

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請問老師填充第2,6該怎麼做?
謝謝!

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