附上題目和填充題答案

填充題
3.設△ABC為等邊三角形，D為△ABC內的點，已知DA=13，DB=12，DC=5，求△ABC的邊長？

設△ABC為正三角形，點P為其內部一點。若PA=5、PB=12、PC=13，則△ABC之面積為？
(97中和高中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364連結已失效)

若△ABC為一正三角形，且在此三角形內部中有一點P使得AP=3，BP=4，CP=5，試問此正三角形之邊長為何？
(2008TRML團體賽)


計算證明題
3.設x,y為實數，且z=(x−2)2+(y−2)2+(x+1)2+(y−1)2+(x−1)2+(y+1)2 ，求z的最小值

假設直角三角形的三個頂點分別為A=(00)，B=(10)和C=(04)，令Q=(xy)為此三角形內部的一個點，試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即Q−A+Q−B+Q−C 的最小值)
(99屏北高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937)
費馬點


填充題
10.在坐標平面上，已知直線y=mx將區域(xy)9x2+4y21x0y0 的面積二等分，則m=？
[解答]
從圓水平伸縮23倍變成橢圓
原本將圓平分的直線y=x則變成y=32x

相同概念的題目
通過橢圓x225+y216=1上兩點(0−4)，(2532) 的直線L，將橢圓內部分割成兩個區域，試問較小區域的面積為？
(1)320　(2)325−4253 　(3)320−4253 　(4)320−53 
(98桃園縣國中聯招，https://math.pro/db/thread-826-1-1.html)

請問填充第4題：我將它分五部份來算
                4R：2*16=32
                3R：20*32=640
                2R：21*64=1344
                1R：8*128=1024
                無R：256
與答案不合，請問正確的作法是如何?

填充第5題我將圖座標化去算兩歪斜線距離，結果非常慢。請問有沒有更好的方法?

另外填充第8和第9題我完全沒頭緒??可否請老師們指點一下!

這份考題感覺我很多不會，挫折感很重!

你的方法沒有錯，只是計算上的錯誤而已。^__^


第 4 題：籃中有大小相同的紅、黃、白球若干個，欲從中拿出 8 個球排成一列且此列中紅球不能相鄰，則有_____種不同的排法。

解答：

若紅球有 0 個，則黃、白色球共有 8 個，排成一直線有 28 種。

若紅球有 1 個，則黃、白色球共有 7 個，排成一直線有 2^7 種，

　　　　　　　　　　 再將紅球插空隙，共有 2^7C_1^8 種。

若紅球有 2 個，則黃、白色球共有 6 個，排成一直線有 2^6 種，

　　　　　　　　　　 再將紅球插空隙，共有 2^6C_2^7 種。

若紅球有 3 個，則黃、白色球共有 5 個，排成一直線有 2^5 種，

　　　　　　　　　　 再將紅球插空隙，共有 2^5C_3^6 種。

若紅球有 4 個，則黃、白色球共有 4 個，排成一直線有 2^4 種，

　　　　　　　　　　 再將紅球插空隙，共有 2^4C_4^5 種。

（如果紅球有五顆以上～則黃白球的空隙就會不夠多了～）

所以，所求共有 2^8+2^7C_1^8+2^6C_2^7+2^5C_3^6+2^4C_4^5=3344 。

填充五我也是坐標化，但其實還蠻快的
我想會不會是你解歪斜線距離的方法不夠快?
先找一個平面E包住BH直線且平行FG直線，再算d(F,E)
這樣算還蠻快的

第 8 題～小弟目前想到的是比較暴力的作法～


第 8 題：求級數 \displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n} 的和為__________。

解答：

當 \left|x\right|<1 時，

　\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots ‧‧‧‧‧‧（第一式）

將上式對 x 微分，可得

　\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots

將上式左右同乘上 x ，可得

　\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2}=x+2x^2+3x^3+\cdots‧‧‧‧‧‧（第二式）

將上式對 x 微分，可得

　\displaystyle \frac{1+x}{(1-x)^3}=1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+\cdots

將上式左右同乘上 x ，可得

　\displaystyle \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}=x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+\cdots‧‧‧‧‧‧（第三式）

由「（第三式）－（第二式）＋（第一式）」，再將 \displaystyle x=-\frac{1}{2} 帶入，可得

所求＝ \displaystyle \frac{22}{27}。


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

再補一個另解，原理是把 (n^2-n+1) 利用多項式的階差~~~ 二次式階差會降成一次式，一次式再用一次階差會降成常數。

IMG_20170613_174908.jpg (619.61 KB)

2017-6-13 17:54

填充三的連結壞了，想請問這一題怎麼寫，謝謝。

以A為原點，將三角形ABD轉60度(此時AB和AC重合，形成一三角形ACD)
此時，三角形ADD'為正三角形
CD=13,CD'=12,DD'=5為一直角三角形
所以角ADC=150度，利用餘弦就可以解出邊長了

另外，想請問填充第七題，謝謝。

先坐標化
令C(0,0),B(2a,0),A(0,2b),M(a,0)
接著利用旋轉可以得出G(-√3 b,b),F(a+√3 b,√3 a+b)
利用MG=7以及MF=11即可解出a=6
BC=2a=12