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99中興高中

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原帖由 weiye 於 2010-7-31 12:22 AM 發表
第 20 題:

我的做法很麻煩,期待有人能提供更快的作法。

要能看穿這個把戲,答案就出來了
8*8*8/2=256

http://www.facebook.com/photo.php?pid=452238&id=100000162065713
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 21# 老王 的帖子

太漂亮了!
真是佩服老王呀!
總是能洞悉題目的根源,
我等到底還要練幾年?
才能有如此的功力呀...

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引用:
原帖由 老王 於 2010-7-31 09:16 PM 發表
要能看穿這個把戲,答案就出來了
8*8*8/2=256

http://www.facebook.com/photo.php?pid=452238&id=100000162065713
真神人也!
引用:
原帖由 Fermat 於 2010-7-31 07:09 PM 發表
題外話
請問瑋岳兄是否有參加2010高中教師研習(高大應數森棚教官, 週日場)?
我當天看到一位很像您
可是研習名單裡卻沒見到
我沒有去耶,之前游教授在台中場的時間也跟我的進修時間衝到,

想去可是卻沒機會去,可惜。

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剛剛發現,第二十題 應該是出自於 AIME 1985
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_15

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請教第11 題

11. 將一個正五邊形ABCDE的部份面積分別記為x,  y,  z, (如圖),
已知x=1,求實數序組 (y,x+5y+5z )=_______。

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請教第17 21 27題
謝謝

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第 17 題

題目:將 \(8\) 件不同的物品全部分給甲、乙、丙三人,若其中一人至少得 \(1\) 件,一人至少得 \(2\) 件,另一人至少得 \(3\) 件,則分法有 \(N\) 種。將相同的蘋果 \(4\) 個及相同的梨子 \(6\) 個,全部分給丁、戊、己三人,若每人至少得 \(1\) 個(不論是蘋果或梨子),則分法有 \(M\) 種。求 \(N+M\) 之值=_______。  

解答:

\(\displaystyle N = n(\mbox{每人至少得一件}) - n(\mbox{某兩人各得一件,第三人獨得六件})\)

 \(\displaystyle = \left(3^8-C^3_1\times2^8 + C^3_2\times1\right) - \left(C^3_1\times\frac{8!}{1!1!6!}\right)\)

 \(\displaystyle = 5628.\)

\(\displaystyle M = H_4^3 H_6^3 - C^3_1 H_4^2 H_6^2 + C^3_2 H_4^1 H_6^1\)
    (↑ 這是排容原理)

 \(\displaystyle = 318.\)





第 21 題

題目:若坐標平面上有一橢圓與 \(x\) 軸相切,且其焦點為 \(F_1(2,1)\) 與 \(F_2(6,2)\),則此橢圓的短軸長為_______。

解答:

\(\displaystyle \overline{F_1F_2} = \sqrt{17} = 2c.\)

將 \(\displaystyle F_1\) 對稱 \(\displaystyle x\) 軸得 \(\displaystyle F_1'(2,-1)\),

\(\displaystyle \overline{F_1'F_2} = 5 =2a.\)
(↑ 畫張圖來看看,想想光學性質就知道了)

\(\displaystyle \Rightarrow 2b=\sqrt{\left(2a\right)^2-\left(2c\right)^2}=2\sqrt{2}.\)




第 27 題

題目:設甲箱內有 \(2\) 白球,乙箱內有 \(3\) 紅球,現在每次各自箱中隨機取一個球交換,若經過長期達穩定狀態後,求有 \(2\) 紅球在甲箱內的機率=_______。(最簡分數)

解答:

轉移矩陣 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle0&\frac{1}{6}&0\\1&\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\\0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{array}\right]\)

其中上方由左至右分別表示的狀態是甲箱中有兩白、一白一紅、兩紅

轉移成左方的狀態由上而下分別是是甲箱中有兩白、一白一紅、兩紅

(↑ 矩陣裏面的數字要自己算一下喔~算起來很快的!)

再由 \(\displaystyle A\left[\begin{array}{c}x\\y\\x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\y\\x\end{array}\right]\) 且 \(\displaystyle x+y+z=1\),

可解得 \(\displaystyle x=\frac{1}{10}, y=\frac{3}{5}, z=\frac{3}{10}.\)

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第11題
令\(\displaystyle \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \),易知\(\phi\)滿足方程式\( \phi^2-\phi-1=0\)
不難說明\( \triangle CDF\)、\(\triangle DFG\)、\(\triangle GCD\)皆為頂角\( 36^\circ \)的等腰三角形或頂角\(108^\circ\)的等腰三角形,故皆為黃金三角形
\(\displaystyle \frac{DG}{FG}=\frac{CD}{GD}= \frac{CG}{FG}=\phi \)
\(\displaystyle CD = GD \times \phi = FG \times \phi^2 \)
兩個正五邊形邊長比為 \( \phi^2 \),故面積比為 \( \phi^4 \)
\(\displaystyle x+5y+5z = x \times \phi^4 = \phi^4 = ( \phi + 1)^2 = \phi^2 +2\phi+1 =3\phi +2 = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} \)
\(\displaystyle y:z =FG:CG =1:\phi\)
\(\displaystyle\phi^4 = x +5y +5z = 1+5y +5\phi y\)
\(\displaystyle y = \frac{\phi^4 -1}{5(1+\phi)} = \frac{(\phi^2+1)(\phi+1)(\phi-1)}{5(\phi+1)} = \frac{(\phi+2)(\phi-1)}{5}=\frac{\phi^2+\phi-2}{5} = \frac{2\phi-1}{5}=\frac{\sqrt{5}}{5} \)

附件

五邊形.png (16.61 KB)

2010-8-26 01:40

五邊形.png

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引用:
原帖由 老王 於 2010-7-31 09:16 PM 發表


要能看穿這個把戲,答案就出來了
8*8*8/2=256

http://www.facebook.com/photo.php?pid=452238&id=100000162065713
請問如何看出 ?

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回復 29# kittyyaya 的帖子

引用:
原帖由 kittyyaya 於 2010-9-12 12:01 AM 發表
請問如何看出 ?
老王老師的 facebook 連結裡,有張漂亮的圖!

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