99苗栗高中

我打電話去 搬出公立高級中等以下學校教師甄選作業要點第九條
該校才公佈考題。
這一份考卷共有20題
填充8題 計算12題
我是當成在100分鐘內要寫20題計算題 因為他答案卷上也沒有話填充題的格子
50分通過初試

晚上我會努力回想計算題
有想到在PO上來

計算題其中有一題是證明微積分第一基本定理
另外有一題是
設實數，f(xy)=f(x)/y 若f(500)=3，求f(600)=?
以上兩題是我目前可以回想起來的

做得好!
我是覺得無論如何只要有辦筆試就應該全部公佈題目
沒有什麼只公佈選擇填充題的
我支持你
做得好
希望您早日正取

2.設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)

除了正規的方法外，提供另一種方法
\( f(x)=x^3+2x^2+3x+4 \)　，　\( f'(x)=3x^2+4x+3 \)
利用綜合除法計算\( \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} \)

\( \matrix{
3 & 4 & 3 & 　& 　& 　& 　& 　\cr
　& -6& 4 & 4 & 4 &-36& 　& 　\cr
　&　 & -9& 6 & 6 & 6 &-54& 　\cr
　&　 &　 &-12& 8 & 8 & 8 &-72\cr
－& －& －& －& －& －& －& －\cr
3 & -2& -2& -2& 18&-22&...&...} \Bigg\vert\;
\matrix{-2 \cr -3 \cr -4 \cr　\cr　} \)

底下的答案剛好是\( \alpha^n+\beta^n+\gamma^n \)，n從0到5次方的答案

2011.4.17補充
令\( a,b,c \)為三次方程式\( x^3+5x+11=0 \)的根，求\( a^3+b^3+c^3 \)
(A)\( -33 \)　(B)33　(C)22　(D)\( -22 \)
(98金門縣國中聯招)

102.6.19補充
方程式\( x^3-x^2+2x-1=0 \)的三根為\( a,b,c \)，則\( a^6+b^6+c^6= \)
(102師大附中，https://math.pro/db/thread-1653-1-1.html)

102.7.14補充
若\( \alpha,\beta,\gamma \)為\( x^3-2x+3=0 \)的三根，則\( \alpha^4+\beta^4+\gamma^4= \)
(102台中二中代理，https://math.pro/db/thread-1691-1-1.html)

正統解法http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=2455

第二題的解法超酷的耶，請問有什麼知識背景嗎?

另外，我想請問各位先進第6題

空間中兩直線\(\displaystyle\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{2},\frac{x-3}{6}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{3}\)   
               
               
        

所夾之鈍角角平分線方程式?  (很抱歉我還不習慣用網站裡的符號....還在摸索當中...)

第 6 題：空間中兩直線 \(\displaystyle L_1:\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{2},\,L_2:\frac{x-3}{6}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{3}\) 所夾之鈍角角平分線方程式為______________。


解答：

由題目所給之方程式，馬上可以看出兩直線通過定點 \((3,-2,1)\)，且兩直線之方向向量為 \(\vec{n_1}=(2,-1,2),\vec{n_2}=(6,2,3)\)，

由於 \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}>0\)，所以 \(\vec{n_1}\) 與 \(\vec{n_2}\) 夾銳夾角，

將其中一個調整至相反方向，令 \(\vec{m_1}=-\vec{n_1}=(-2,1,-2)\)，

其角平分線的向量為 \(\left|\vec{m_1}\right|\vec{n_2}+\left|\vec{n_2}\right|\vec{m_1}=(4,13,-5)\)，

故，\(L_1\) 與 \(L_2\) 的鈍角角平分線方程式為 \(\displaystyle\frac{x-3}{4}=\frac{y+2}{13}=\frac{z-1}{-5}.\)

\(\displaystyle f(x)=\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\left(x-\gamma\right)\Rightarrow f\,'(x)=\left(x-\beta\right)\left(x-\gamma\right)+\left(x-\alpha\right)\left(x-\gamma\right)+\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\)

因此，

\(\displaystyle\frac{f\,'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha}+\frac{1}{x-\beta}+\frac{1}{x-\gamma}\)

　　\(\displaystyle=\frac{1}{x}\left(1+\frac{\alpha}{x}+\frac{\alpha^2}{x^2}+\cdots\right)+\frac{1}{x}\left(1+\frac{\beta}{x}+\frac{\beta^2}{x^2}+\cdots\right)+\frac{1}{x}\left(1+\frac{\gamma}{x}+\frac{\gamma^2}{x^2}+\cdots\right)\)

　　\(\displaystyle=3\cdot x^{-1}+\left(\alpha+\beta+\gamma\right)x^{-2}+\left(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right)x^{-3}+\cdots\)


其中，幾何級數的收斂條件是 \(\displaystyle\left|\frac{\alpha}{x}\right|<1,\left|\frac{\beta}{x}\right|<1,\left|\frac{\gamma}{x}\right|<1\)。

感謝老師的回答，歹勢，中秋節放假一下，所以現在才回^^

請問一下，老師所說由於 \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}>0\)，所以 \(\vec{n_1}\) 與 \(\vec{n_2}\) 夾銳夾角，
這個部分的觀念是怎麼來的，我不太懂??
另外，我的做法是先算出n1，n2的單位向量出來，再相加減，得出兩個角平分線向量，不過我判斷不出來哪一個向量是所求?

若兩非零向量  \(\vec{n_1}\) 與 \(\vec{n_2}\) 夾角為 \(\theta\)（其中 \(0^\circ\leq\theta\leq 180^\circ\) ），

由內積定義 \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=\left|\vec{n_1}\right|\cdot\left|\vec{n_2}\right|\cdot\cos\theta\)，

可以知道

　　　　\(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}>0\Leftrightarrow\cos\theta>0\Leftrightarrow 0^\circ<\theta<90^\circ\)

　　　　\(\Leftrightarrow \theta\) 為銳角。

請教第7題，感謝。