as title
請各位享用
(彩色的立體圖形)

第一部份填充題
4.
設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 1 & 1 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1} \Bigg]\; \)，則\( A^{102} \)

設矩陣\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 1 & 1 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 &1} \Bigg]\; \)。若\( A^{10}=\Bigg[\; \matrix{a_{11} & a_{12} & a_{13} \cr a_{21} & a_{22} & a_{23} \cr a_{31} & a_{32} & a_{33}} \Bigg]\; \)，則\( a_{13} \)之值為何？
(102新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-1627-1-1.html)
(101南港高工，https://math.pro/db/thread-1442-1-1.html)


第二部分填充題
3.
圓周上10個相異點，任兩點都可連出一條弦，則所有連出的弦最多可將此圓分成　　個區域。
(找出圖形的規律，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)


4.
方程式\( x^3-x^2+2x-1=0 \)的三根為\( a,b,c \)，則\( a^6+b^6+c^6= \)
(https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501)


5.
函數\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1} \)的最大值為

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-6-19 08:58 PM 編輯 ]

第1題跟第2題

證明 1.

對 \( k\in\mathbb{N} \)，\( \frac{k}{k+1}<\frac{k+1}{k+2} \)，故 \( \left(\prod\limits _{k=1}^{671}\frac{3k-1}{3k}\right)^{3}<\prod\limits _{k=3}^{2015}\frac{k-1}{k}=\frac{2}{2015}<\frac{1}{1000} \)。

三次根號得 \( \prod\limits _{k=1}^{671}\frac{3k-1}{3k}<\frac{1}{10} \)。

想請教第二部分填充題2和8  謝謝

請教
第一部分填充題3和5
第二部分填充題6
計算2
感謝

提供填充一3.5. 填充二2.6.8解答
證明2. 老王說用「布里昂雄定理+交比」秒殺，詳解請洽老王。

轉貼http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3050
(i)5
(ii)1.2.4.5.7.8
證明題1.

想請教證明2  謝謝

102附中計算2. 不高明暴力證明，要是考試的時候，應該沒有機會暴出來吧！？

令 \( \overline{BC}=a, \overline{CA}=b, \overline{AB}=c, s=\frac{a+b+c}{2}, \overline{AX}=x, \overline{AY}=y \)。

則 \( \overline{XY}=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2xy\cos A}=(s-a-x)+(s-a-y) \)。

平方整理得 \( (s-a)^{2}-(s-a)(x+y)+xy\cdot\frac{1+\cos A}{2}=0 \)，其中由餘弦定理可得 \( \frac{1+\cos A}{2}=\frac{s(s-a)}{bc} \)，故可得\( (s-a)bc-bc(x+y)+sxy=0 \)。

\(\displaystyle \frac{\frac{\overline{AX}}{\overline{XB}}}{\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}}+\frac{\frac{\overline{AY}}{\overline{YB}}}{\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}}=\frac{\frac{x}{c-x}}{\frac{s-a}{s-b}}+\frac{\frac{y}{b-y}}{\frac{s-a}{s-c}}=\frac{(s-b)(b-y)x+(s-c)(c-x)y}{(s-a)(c-x)(b-y)} \)。

其分子乘開得 \( (s-b)bx+(s-c)cy-(s-b+s-c)xy=(s-b)bx+(s-c)cy-axy \)。

分母乘開得 \( \begin{aligned}= & (s-a)bc-(s-a)bx-(s-a)cy+(s-a)xy\\
= & \left[bc(x+y)-sxy\right]-(s-a)bx-(s-a)cy+(s-a)xy\\
= & (s-b)bx+(s-c)cy-axy
\end{aligned} \)

得分子 =  分母，因此 \( \displaystyle \frac{\frac{\overline{AX}}{\overline{XB}}}{\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}}+\frac{\frac{\overline{AY}}{\overline{YB}}}{\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}}=1 \)。