109新北市高中聯招

如附件，請參閱

感謝thepiano和Ellipse提供題目出處
1.
某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈，每晚會點亮其中一種燈，且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第1晚點亮紅色燈，則第6晚也點亮紅色燈的機率為　　　（以最簡分數表示）。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

2.
設集合A=123102共102個數，B、C為另2個集合，滿足B∪C=A，則這樣的(BC)共有　　　。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

3.
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求：小紅球的最大半徑為　　　單位。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

100華江高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1177&page=1#pid3990
102高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html

4.
設a、b為正整數，若a20為31位數，b120 自小數點以下25位才不為0，則(ab)5是　　　位數。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html)

5.
將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子(每次要把10個球裝完)，要求每個盒子裡球的個數不少於盒子的編號數，這樣的裝法種數共有　　　種。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html)

6.
設Q1、Q2為以原點O(00)為圓心的單位圓和x軸的兩交點。若上半圓上兩點P1和P2滿足∠P1OP2=45，則P1OQ1和P2OQ2面積和的最大值為　　　。
(105台灣師大申請入學筆試二試題，http://www.math.ntnu.edu.tw/down ... 6%E8%A9%A6%E4%BA%8C)

9.
級數k=0(−2)k(2k+1+(−1)k+1)(2k+(−1)k) 之和為有理數，此有理數最簡分數為　　　。
[提示]
待定係數法
設(−2)k(2k+1+(−1)k+1)(2k+(−1)k)=a2k+12k+1+(−1)k+1−a2k2k+(−1)k，得a=31
(−2)k(2k+1+(−1)k+1)(2k+(−1)k)=312k+12k+1+(−1)k+1−2k2k+(−1)k 

(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

計算證明題1.
將長AB=240，寬BC=288的長方形紙張對摺，讓頂點C剛好落在線段AB的中點M上，若EF是摺線，則摺線EF的長度為多少？
(101高中數學能力競賽　花蓮區筆試一試題，http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... s_writtenexam_1.pdf)

類似題
ABCD是邊長為1的正方形，沿PQ對折，使得A,B對折之後分別重合於A',B'兩點，且B'在\overline{CD}上，
(a)證明\Delta RB'D的周長為2。
(b)求\Delta QB'C的最大面積。
(97國立大里高中，https://math.pro/db/thread-2402-1-1.html)

109.10.2補充
摺到中點時，各線段的比例
https://books.google.com.tw/book ... ge&q&f=true
Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding

出題費也太好賺了 ......

請教計算2

計算2
空間中有點O(0,0,0)，A(5,-4,3)及平面E：x+2y+2z=0，P是平面E上的動點。
(a)求\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}的最大值。
(b)求此時P點座標。
[解答]
\overline{AP}為定值的動點軌跡為一圓，欲使\overline{OP}最大，故取過圓心且較遠的點
所求為\displaystyle\frac{7+r}{\sqrt{1+r^2}}，微分解得當\displaystyle r=\frac{1}{7}時有最大值5\sqrt{2}

填充題
第 1 & 2 & 3 題
102 能力競賽，北一區

第 4 & 5 題
104 能力競賽，北一區


計算題
第 1 題
101 能力競賽，北一區

空間中有點O(0,0,0)，A(5,-4,3)及平面E：x+2y+2z=0，P是平面E上的動點。
(a)求\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}的最大值。
(b)求此時P點座標。
[解答]
解一
設PO=kPA(阿波羅球)與平面相切
計算後可得等號成立於k=√50
此時阿波羅球
(x-250/49)^2+(y+200/49)^2+(z-150/49)^2=(50/49)^2
與平面切於(100/21,-100/21,50/21)
解二
偷吃步另解
設平面F為過OA且與平面E垂直的平面
則P落在兩平面交線上
不難得知P(2t,-2t,t)
故所求=√[(9t^2)/((2t-5)^2+(-2t+4)^2+(t-3)^2)]
後面這邊很巧妙的化為一元求極值這邊留給你了，可以得到極值發生在t=50/21

看看這次新北會不會有大學教授來關心考題

一半用抄的，連數字都沒改

呼叫一下去年那個教授 ......

填6:
"高中數學學科中心研發試題(97年度)"  改數據
原題目90度(這題改45度)