99屏東女中

難怪我找不到
原來是我忘了貼上來
有請各位詳細品嘗!!

(a+1)(b+1)=525=25*(3*7)
(b+1)(c+1)=147=(3*7)*7
(c+1)(d+1)=105=7*(3*5)
a=24 b=20 c=6 d=14

謝謝老師指教

6.\( \omega \)為\( z^7=1 \)之虛根，試求
甲、以\( \omega+\omega^2+\omega^4 \)，\( \omega^3+\omega^5+\omega^6 \)為兩根之二次方程式
乙、求\( \omega+\omega^2+\omega^4 \)之值
[提示]
\( \omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6=-1 \)
\( (\omega+\omega^2+\omega^4)(\omega^3+\omega^5+\omega^6)=2 \)


9.若\( \cases{a+b+c+d+e=8 \cr a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16} \)，求e的最大值？
https://math.pro/db/thread-61-1-2.html

以下的題目都是相同技巧
(高中數學競賽教程P195，93彰化女中，TRML2006個人賽都有這題)
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=17863

設\( a,b,c,d \in R \)，\( a+b+c+d=6 \)，\( a^2+b^2+c^2+d^2=12 \)，則d的最大值為？
(96嘉義高工，https://math.pro/db/thread-61-1-2.html)

設\( a,b,c,d \in R \)，且\( \cases{a+b+c+d=4 \cr a^2+2b^2+3c^2+6d^2=10} \)，若a的最大值為M，最小值為m，求數對\( (M,m) \)？
(97大里高中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052)

\( \cases{a+b+c+d=3 \cr a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5} \)求a的最大最小值？
(高中數學101　P355，高中數學101修訂版　P357)

已知\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=24 \)且\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k^2=64 \)；若\( a_1,a_2,a_3,...,a_{10} \)均為實數，則\( a_1 \)的最大值為？
(99師大附中，https://math.pro/db/thread-935-1-3.html)


10.\( \displaystyle \cases{sin\theta+cos\phi=\frac{3}{5} \cr cos\theta+sin\phi=\frac{4}{5}} \)，求\( cos\theta sin\phi \)
(96家齊女中，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23930)

請問各位前輩第7題與第8題
       第7題  我覺得無解,因為算關係式的時候發現 y=(x-3)/4   ,   w=(x-1)/4  =>應該沒有兩個數字只差2但同時為4的倍數吧!

       第8題  列出來數字太大,不曉得怎麼合併? 應該是我用錯想法,請各位大大指教

感謝先  <(_ _)>

第 8 題： 袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,…,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。

解答：

被取到的求有三顆，不被取到的球有 \(2005\)顆，

將這 \(2005\) 顆平均分布在被取到三顆球的四個空隙中，

平均每個空隙有 \(\displaystyle\frac{2005}{4}\) 顆，

所以，第三顆被取到球所排的順序是第 \(\displaystyle3\times\left(1+\frac{2005}{4}\right)=\frac{6027}{4}\) 顆，

故，被取到球的最大號碼的期望值為 \(\displaystyle\frac{6027}{4}.\)



註：此題解法同 97 大里高中的計算第 3 題。
97大里高中h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052　連結已失效

111.4.2補充
袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,\cdots,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。
(97台中一中，https://math.pro/db/thread-1344-1-1.html)

袋中有2022顆球，分別編號為1、2、3、⋯⋯、2022，假設每球被取中的機率相同，今從袋中一次取三顆球，設三顆球之中編號最大者為\(x\)，求\(x\)的期望值為何？
(111樟樹實創高中，https://math.pro/db/thread-3617-1-1.html)

113.6.15補充
袋中有編號\(1,2,3,\ldots,50\)的球各一個，今自袋中任取3球，令隨機變數\(X\)表所取出球中號碼之最大值，則\(X\)之期望值\(E(X)=\)　　　。
(113花蓮女中，https://math.pro/db/thread-3889-1-1.html)




第 7 題小弟解到後來會產生跟 addcinabo 所說一樣的矛盾。

謝謝!

12. \( \langle\; a_n \rangle\; \)為1到n之一個排列，試證\( \displaystyle \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n}\gt \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n-1}{n} \)


設\( a_1，a_2，...，a_n \in N \)，且各不相同，求證：\( \displaystyle 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\le a_1+\frac{a_1}{2^2}+...+\frac{a_n}{n^2} \)。
(奧數教程高二　第19講排序不等式與琴生不等式)